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행렬식 보조정리 증명 📂행렬대수

행렬식 보조정리 증명

정리

가역행렬 A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n \times n} 과 u,v∈Rn\mathbf{u} , \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} 에 대해 다음이 성립한다. det⁡(A+uvT)=(1+vTA−1u)det⁡A \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) \det A 특히 고전수반행렬 adj(A)=A−1det⁡A\text{adj} (A) = A^{-1} \det A 에 대해서는 다음과 같이 나타낼 수 있다. det⁡(A+uvT)=det⁡A+vTadj(A)u \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \det A + \mathbf{v}^{T} \text{adj} (A) \mathbf{u}

  • uT\mathbf{u}^{T} 는 u\mathbf{u} 의 전치행렬을 의미한다.

증명 1

전략: 행렬식들의 성질에 따라 직접 연역한다. 아무 언급이 없더라도 행렬의 차원에 따라 블럭행렬이 기본적으로 쓰인다.

행렬식의 성질: A,BA,B를 n×nn\times n행렬, kk를 상수라고 하자. 행렬식은 다음과 같은 성질을 만족한다.

  • (b) det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)\det(AB) = \det(A)\det(B)
  • (c) det⁡(AB)=det⁡(BA)\det(AB)=\det(BA)

블록 행렬의 성질: A=[A1A2OA3]A = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix}를 블록행렬이라고 하자. 그 행렬식에 대해 다음이 성립한다. det⁡A=det⁡A1det⁡A3 \det A = \det A_{1} \det A_{3}

항등행렬 I∈Rn×nI \in \mathbb{R}^{n \times n} 과 영벡터 0∈RT\mathbf{0} \in \mathbb{R}^{T} 와 w:=A−1u∈Rn\mathbf{w} := A^{-1} \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n} 에 대해 다음이 성립한다. [I0vT1][I+wvTw0T1][I0−vT1]=[I+wvTwvT+vTwvTvTw+1][I0−vT1]=[Iw0T1+vTw] \begin{align*} & \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{v}^{T} + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} + 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} I & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \end{bmatrix} \end{align*}

삼각 행렬의 행렬식은 대각성분의 곱이므로 det⁡\det 를 취해보면 행렬식의 성질 (b)과 블록 행렬의 성질에 따라 1+vTw=det⁡[Iw0T1+vTw]=det⁡[I0vT1]det⁡[I+wvTw0T1]det⁡[I0−vT1]=1⋅det⁡[I+wvTw0T1]⋅1=det⁡[I+wvT]⋅det⁡[1]=det⁡(I+wvT) \begin{align*} 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} =& \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \end{bmatrix} \\ =& \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& 1 \cdot \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \cdot 1 \\ =& \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} \end{bmatrix} \cdot \det \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \\ =& \det \left( I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} \right) \end{align*} 을 얻는다. 양변에 det⁡A\det A 를 곱해보면 행렬식의 성질 (b)와 (c)에 따라 다음을 얻는다. (1+vTw)⋅det⁡A=det⁡A⋅det⁡(I+A−1uvT)  ⟹  (1+vTA−1u)det⁡A=det⁡(A+uvT) \begin{align*} & & \left( 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \right) \cdot \det A =& \det A \cdot \det \left( I + A^{-1} \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) \\ \implies & & \left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) \det A =& \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) \end{align*}

고전수반행렬의 성질: 특히 AA 가 가역행렬이면, 고전수반행렬을 다음과 같이 나타낼 수 있다. adj(A)=det⁡(A)A−1 \text{adj} (A) = \det (A) A^{-1}

마지막으로 고전수반행렬의 성질에 따라 다음을 얻는다. det⁡(A+uvT)=det⁡A+vTadj(A)u \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \det A + \mathbf{v}^{T} \text{adj} (A) \mathbf{u}

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이 보조정리는 주로 셔먼-모리슨 공식의 유도에서 언급된다.

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_determinant_lemma ↩︎