행렬식 보조정리 증명
정리
가역행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 과 $\mathbf{u} , \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) \det A $$ 특히 고전수반행렬 $\text{adj} (A) = A^{-1} \det A$ 에 대해서는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \det A + \mathbf{v}^{T} \text{adj} (A) \mathbf{u} $$
- $\mathbf{u}^{T}$ 는 $\mathbf{u}$ 의 전치행렬을 의미한다.
증명 1
전략: 행렬식들의 성질에 따라 직접 연역한다. 아무 언급이 없더라도 행렬의 차원에 따라 블럭행렬이 기본적으로 쓰인다.
행렬식의 성질: $A,B$를 $n\times n$행렬, $k$를 상수라고 하자. 행렬식은 다음과 같은 성질을 만족한다.
- (b) $\det(AB) = \det(A)\det(B)$
- (c) $\det(AB)=\det(BA)$
블록 행렬의 성질: $A = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix}$를 블록행렬이라고 하자. 그 행렬식에 대해 다음이 성립한다. $$ \det A = \det A_{1} \det A_{3} $$
항등행렬 $I \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 과 영벡터 $\mathbf{0} \in \mathbb{R}^{T}$ 와 $\mathbf{w} := A^{-1} \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} & \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{v}^{T} + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} + 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} I & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \end{bmatrix} \end{align*} $$
삼각 행렬의 행렬식은 대각성분의 곱이므로 $\det$ 를 취해보면 행렬식의 성질 (b)과 블록 행렬의 성질에 따라 $$ \begin{align*} 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} =& \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \end{bmatrix} \\ =& \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ - \mathbf{v}^{T} & 1 \end{bmatrix} \\ =& 1 \cdot \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} & \mathbf{w} \\ \mathbf{0}^{T} & 1 \end{bmatrix} \cdot 1 \\ =& \det \begin{bmatrix} I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} \end{bmatrix} \cdot \det \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \\ =& \det \left( I + \mathbf{w} \mathbf{v}^{T} \right) \end{align*} $$ 을 얻는다. 양변에 $\det A$ 를 곱해보면 행렬식의 성질 (b)와 (c)에 따라 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} & & \left( 1 + \mathbf{v}^{T} \mathbf{w} \right) \cdot \det A =& \det A \cdot \det \left( I + A^{-1} \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) \\ \implies & & \left( 1 + \mathbf{v}^{T} A^{-1} \mathbf{u} \right) \det A =& \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) \end{align*} $$
고전수반행렬의 성질: 특히 $A$ 가 가역행렬이면, 고전수반행렬을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \text{adj} (A) = \det (A) A^{-1} $$
마지막으로 고전수반행렬의 성질에 따라 다음을 얻는다. $$ \det \left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right) = \det A + \mathbf{v}^{T} \text{adj} (A) \mathbf{u} $$
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이 보조정리는 주로 셔먼-모리슨 공식의 유도에서 언급된다.