📂통계적분석

회귀계수의 정의와 추정량의 공식 유도

정의 ¹

$$ Y = \beta_{0} + \beta_{1} X_{1} + \cdots + \beta_{p} X_{p} + \varepsilon $$ 다중회귀분석에서 주어진 $p$ 개의 독립변수 $X_{1} , \cdots , X_{p}$ 에 대해 위와 같은 선형모델^{linear model}을 세울 때, $\beta_{0} , \beta_{1} , \cdots , \beta_{p}$ 를 회귀계수^{regression Coefficient}라 한다. $Y$ 는 종속변수, $\varepsilon$ 은 랜덤하게 분포된 에러를 의미한다.

공식

$$ \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_{11} & \cdots & x_{p1} \\ 1 & x_{12} & \cdots & x_{p2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{1n} & \cdots & x_{pn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_{0} \\ \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{p} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \vdots \\ \varepsilon_{n} \end{bmatrix} $$ $n$ 개의 데이터가 주어져 있고 $p < n$ 이라고 할 때 선형다중회귀모델을 계획행렬로 나타내면 위와 같고, 간단히 $Y = X \beta + \varepsilon$ 라 나타내자. $\beta$ 에 대해 최소제곱인 추정량 벡터 $\hat{\beta}$ 는 다음과 같다. $$ \hat{\beta} = \begin{bmatrix} \hat{\beta}_{0} \\ \hat{\beta}_{1} \\ \vdots \\ \hat{\beta}_{p} \end{bmatrix} = \left( X^{T} X \right)^{-1} X^{T} Y $$ 그뿐만 아니라, $\hat{\beta}$ 는 $\beta$ 의 최선불편추정량이어서 최선선형불편추정량^{Best Linear Unbiased Estimator, BLUE}이라 부르기도 한다.

유도 ^{2 3}

우리의 목표는 $$ \left\| \varepsilon \right\|_{2}^{2} = \sum_{k=0}^{n} \varepsilon_{k} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{0} & \varepsilon_{1} & \cdots & \varepsilon_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{0} \\ \varepsilon_{1} \\ \vdots \\ \varepsilon_{n} \end{bmatrix} = \varepsilon^{T} \varepsilon $$ 을 최소화하는 것이다. $\varepsilon = Y - X \beta$ 이므로 $\varepsilon^{T} \varepsilon = \left( Y - X \beta \right)^{T} \left( Y - X \beta \right)$ 을 최소화하는 $\beta$ 를 찾으면 된다.

잔차제곱합의 그래디언트: $$ f \left( \mathbf{s} \right) := \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right)^{T} R \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right) $$ 라고 하자. $R$ 이 항등행렬이면 다음을 얻는다. $$ {{ \partial f \left( \mathbf{s} \right) } \over { \partial \mathbf{s} }} = - 2 X^{T} \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right) $$

양변을 $\beta$ 로 편미분한 $$ \begin{align*} {{ \partial } \over { \partial \beta }} \varepsilon^{T} \varepsilon =& - 2 X^{T} \left( Y - X \beta \right) \\ = & - 2 X^{T} \left( Y - X \beta \right) \\ = & - 2 X^{T} Y + 2 X^{T} X \beta \end{align*} $$ 가 영벡터 $\mathbf{0}$ 이 되게끔 하는 $\hat{\beta}$ 는 다음의 꼴이 된다. $$ \hat{\beta} = \argmin_{\beta} \varepsilon^{T} \varepsilon = \left( X^{T} X \right)^{-1} X^{T} Y $$ 한편 $\hat{\beta}$ 는 $\beta$ 에 대한 불편추정량임을 쉽게 보일 수 있고, 최소제곱법을 통해 유도되었으므로 이보다 분산이 작은 $\beta$ 의 불편추정량은 존재하지 않아 최선불편추정량이다.

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만약 유도과정에서 $\beta$ 로 미분하는 부분이 별로 마음에 들지 않는다면 행렬대수로 접근하는 대안도 있다. 행렬대수에서의 최소제곱법에서 $$ X^{\ast} Y = X^{\ast} X \hat{\beta} $$ 를 만족하는 $\hat{\beta}$ 이 최소제곱해가 된다는 점에서, $X \in \mathbb{R}^{n \times p}$ 이므로 $X^{\ast} = X^{T}$ 이고 결론적으로 $\hat{\beta} = \left( X^{T} X \right)^{-1} X^{T} Y$ 을 얻는다.

따름정리

$\hat{\beta}$ 가 최선선형불편추정량이면 $y_{k}$ 의 합과 적합치 $\hat{y}_{k=1} = \hat{\beta}_{0} + \sum_{j=1}^{p} \hat{\beta}_{j} x_{j}$ 의 합은 같다: $$ \sum_{k=1}^{n} y_{k} = \sum_{k=1}^{n} \hat{y}_{k} $$

증명

본 공식의 증명에서 $\hat{\beta}$ 가 최선선형불편추정량이라는 것은, $$ \begin{align*} & \mathbf{0} = - 2 X^{T} Y + 2 X^{T} X \hat{\beta} \\ \implies & \mathbf{0} = X^{T} \left( Y - X \hat{\beta} \right) \\ \implies & \mathbf{0} = X^{T} \begin{bmatrix} y_{1} - \hat{y}_{1} \\ \vdots \\ y_{n} - \hat{y}_{n} \end{bmatrix} \end{align*} $$ 이 성립한다는 것이다. $X$ 가 계획행렬이므로 $X^{T}$ 의 첫번째 행은 모든 성분이 $1$ 인 1행렬으로 볼 수 있다. $X^{T}$ 의 첫번째 행과 $Y - X \hat{\beta}$ 의 곱만 살펴보면 다음과 같다. $$ \begin{align*} & 0 = \begin{bmatrix} 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1} - \hat{y}_{1} \\ \vdots \\ y_{n} - \hat{y}_{n} \end{bmatrix} \\ \implies & 0 = \left( y_{1} - \hat{y}_{1} \right) + \cdots + \left( y_{n} - \hat{y}_{n} \right) \\ \implies & 0 = \sum_{k=1}^{n} y_{k} - \sum_{k=1}^{n} \hat{y}_{k} \end{align*} $$ 결과적으로, 다음을 얻는다. $$ \sum_{k=1}^{n} y_{k} = \sum_{k=1}^{n} \hat{y}_{k} $$

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이 따름정리는 선형회귀에서 $\text{SST} = \text{SSR} + \text{SSE}$ 임을 증명할 때 쓰인다.

같이보기

• 단순회귀계수 추정량의 유도
• 회귀계수벡터의 다변량정규성