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원주율의 정의

정의

기하학적 정의

1. 평면에서 주어진 한 점과 거리 $r > 0$ 만큼 떨어진 점들의 집합을 원^circle이라 정의한다.
2. 원의 둘레 $l$ 과 지름 $2r$ 의 비를 원주율 $\pi$ 라 정의한다. $$ \pi := {{ l } \over { 2r }} $$

해석학적 정의 ¹

$$ E (z) := \sum_{k=0}^{\infty} {{ z^{k} } \over { k! }} $$ 복소함수 $E : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 를 위와 같이 지수함수의 급수전개로써 정의하고, 그를 통해 코사인 함수와 유사한 다음의 함수 $C$ 를 정의하자. $$ C(x) := {{ E (ix) + E(-ix) } \over { 2 }} $$ $C(x)$ 의 근, 즉 $C(x) = 0$ 을 만족하는 해 중 가장 작은 양수를 $x_{0}$ 이라 할 때, 그 두배를 원주율 $\pi$ 라 정의한다. $$ \pi := 2 x_{0} $$

설명

이 포스트에서는 기하학적인(쉬운) 정의와 해석학적인(어려운) 정의를 소개했는데, 학부 3학년 이상 수준의 수학도라면 해석학적인 정의를 보고 은은한 미소를 지을 수 있을 것이다.

인류의 역사에서 원주율은 대단히 중요한 상수로써, 아무리 늦어도 바퀴가 발명되던 시점에서는 그 구체적인 값이 실용적으로 쓰일 수 있게 되었다. 특히 효율적이고 정밀한 근사치로써는 $$ {{ 22 } \over { 7 }} = 3.142857 \cdots \approx \pi $$ 와 같은 수도 알려져 있었다. 이 값은 이른바 유토리 세대^{ゆとり世代}로 알려진 20세기 말 일본의 교육 수준을 월등히 뛰어넘을 정도로 정확하다. (여유 있는 교육을 한답시고 원주율을 $3$으로 가르쳤던 시기였다) ²

같이보기

• 원주율은 무리수임을 증명