켤레 복소수

정의

$z$ 를 $z=a+ib(a,b\in \mathbb{R})$ 인 복소수라고 하자.

$\overline{z}$ 를 다음과 같이 정의하고 $z$ 의 켤레 복소수^{complex Conjugatre}라고 한다. $\overline{z}:=\overline{a+ib}=a-ib$

설명

원래 복소수에 $i$ 대신 $-i$ 를 대입한 것, 복소 평면에서 실수 축으로 대칭이동한 것 등으로 설명할 수 있다. 켤레라는 말은 더해서 실수를 만들어내는 한 쌍이라는 점 때문에 붙은 이름으로 보인다. 켤레복소수는 복소 해석학을 공부하면서 가장 처음으로 접하는 개념이지만 막상 당장엔 쓸 일이 없어 공부를 소홀히 하곤 한다. 하지만 이러한 성질들은 단순히 배우는데 그치지 않고 반복을 통해 숙달하는 것이 중요하다. 보통 [5] 이후부터는 책에서도 언급되지 않으므로 여기서 배워두고 꿀을 빨도록 하자.

성질

$z_{1}$ , $z_{2}$ , $z \in \mathbb{C}$ 라고 하자. 그러면 아래의 등식들이 성립한다.

[1]: $(z+\overline{z}) = 2 \re(z) \in \mathbb{R}$
[2]: $\overline{z_{1} + z_{2}} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}}$
[3]: $\overline{z_{1} z_{2}} = \overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}$
[4]: $\overline{ \overline{z} } = z$
[5]: $z \overline{z} = |z|^2$
[6]: $\overline{ \left( { \dfrac{1}{z} } \right) } = \dfrac{1}{\overline{z}}$
[7]: $\overline{ \left( \dfrac{z_{1}}{z_{2}} \right) } = \dfrac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}$
[8]: $\overline{ \sin{ z } } = \sin{\overline{z}}$
[9]: $\overline{ \cos{ z } } = \cos{\overline{z}}$
[10]: $\overline{ e^{ z } } = e^{\overline{z}}$
[11]: $\overline{ \cosh{z} } = \cosh{\overline{z}}$
[12]: $\overline{ \tan{ z } } = \tan{\overline{z}}$

증명

증명에 앞서 각 변수들을 $z_{1} = x_{1} + i y_{1}$ , $z_{2} = x_{2} + i y_{2}$ , $z = x + i y$ 라고 두겠다.

[1]

$z +\overline{z} = (x+iy)+(x-iy) = 2x$

이므로 $(z+\overline{z})=2x\in \mathbb{R}$ 이다.

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[2]

$\begin{align*} \overline{z_{1} + z_{2}} =& \overline{ ( x_{1} + i y_{2} ) + ( x_{2} + i y_{2} ) } \\ =& \overline{ ( x_{1} + x_{2} ) + i ( y_{1} + y_{2} ) } \\ =& ( x_{1} + x_{2} ) - i ( y_{1} + y_{2} ) \\ &=(x_{1} - i y_{1}) + (x_{2} - i y_{2}) \\ =& \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}} \end{align*}$

■

[3]

$\begin{align*} \overline{z_{1} z_{2}} =& \overline{ ( x_{1} + i y_{1} ) ( x_{2} + i y_{2} ) } \\ =& \overline{( x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2} ) + i ( x_{1} y_{2} + y_{1} x_{2} )} \\ =& ( x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2} ) - i ( x_{1} y_{2} + y_{1} x_{2} ) \\ =& ( x_{1} - i y_{1} ) ( x_{2} - i y_{2} ) \\ =& \overline{( x_{1} + i y_{1} )} \ \overline{( x_{2} + i y_{2} )} \\ =& \overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} \end{align*}$

■

[4]

$\overline{ \overline{ z } } = \overline{ x - i y } = x + i y =z$

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[5]

$z \overline{z} = (x + iy ) ( x - i y )= x^2 + y^2 =|z|^2$

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[6]

$\overline{ \left( { {1} \over {z} } \right) } = \overline{ \left( {1} \over { x + iy } \right) } = \overline{{x - i y} \over {x ^ 2 + y^2 }} = {{x + i y} \over {x ^ 2 + y^2 }} = {{1} \over {x - i y }} = {{1} \over { \overline{z} }}$

■

[7]

[3], [6]에 의해 $\overline{ \left( { {z_{1}} \over { z_{2} } } \right) } = \overline{ z_{1} { {1} \over { z_{2} } }}=\overline{z_{1}}\cdot \overline{ \left( {1} \over { z_{2} } \right) } = \overline{z_{1}}\cdot { 1 \over \overline{z_{2}} } = {{\overline{z_{1}}} \over { \overline{z_{2}} }}$

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[8] [9]

[8]과 [9]의 증명은 본질적으로 같으므로 [9]의 증명은 생략한다.

$\begin{align*} \overline{ \sin{ z } } =& \overline{\sin{(x+ i y)}} \\ =& \overline{ \sin{x} \cosh{y} - i \cos{x} \sinh{y} } \\ =& { \sin{x} \cosh{y} + i \cos{x} \sinh{y} } \\ =& \sin{(x-iy)} \\ =& \sin{ \overline{z} } \end{align*}$

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[10]

오일러 공식에 의해 다음이 성립한다.

$\overline{e^z} = \overline{\cos{x} + i \sin{y}} = \cos{x} - i \sin{y} =e^{\overline{z}}$

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[11]

[7], [10]에 의해 다음이 성립한다.

$\overline{\cosh{z}} = \overline{\left( \dfrac{e^{z} + e^{-z}}{2} \right)} = \dfrac{ e^{\overline{z}} + e^{-\overline{z}} } {2} = \cosh\overline{z}$

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[12]

[7], [8], [9]에 의해 다음이 성립한다.

$\overline{ \tan{z} } = \overline{ \left( { \sin{z} } \over { \cos{z} }\right) } = {{ \overline{\sin{z}} } \over { \overline{\cos{z}} }} = {{ \sin{ \overline{z} } } \over { \cos { \overline{z} } }} = \tan{ \overline{z} }$

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보충

증명과정을 보면 알겠지만 [11]은 다른 쌍곡함수에 대해서도 적용할 수 있다. 꼭 저 함수들만 중요해서 따로 증명을 한 건 아니고 그냥 이렇게 한다 정도만 알려주기 위해 증명을 남겼다. 그 외의 삼각함수도 마찬가지로 어렵지 않게 이러한 좋은 성질들을 유도해낼 수 있으니 직접 해보도록 하자.

[13]: $\dfrac{1 + i}{1 - i } = i$
[14]: $\dfrac{1 - i}{1 + i } = -i$
[15]: $\dfrac{1}{i } = -i$
[16]: $i \cdot (- i ) = 1$

위와 같은 허수의 계산은 공식은 아니지만 매우 빈번하게 쓰이기 때문에 체득해두면 계산량을 획기적으로 줄일 수 있다. 특히 [15]의 경우 약분이나 양변에 허수를 곱하는 상황에서 아주 유용하다.