📂위상데이터분석

퍼시스턴트 호몰로지 그룹의 정의

빌드업

오리엔티드^oriented $k$-심플렉스 $K$ 에서 얻은 프리 그룹 $\mathsf{C}_{k}$ 에 대해, $\partial_{k} \circ \partial_{k+1} = 0$ 을 만족하는 바운더리 오퍼레이터 $\partial_{k} : \mathsf{C}_{k} \to \mathsf{C}_{k-1}$ 는 체인 컴플렉스을 이룬다. 사이클 그룹^{cycle group} $\mathsf{Z}_{k} := \ker \partial_{k}$, 바운더리 그룹^{boundary group} $\mathsf{B}_{k} := \operatorname{Im} \partial_{k+1}$ 의 쿼션트 그룹으로 정의되는 다음을 $k$번째 호몰로지 그룹이라 한다. $$ \mathsf{H}_{k} := \mathsf{Z}_{k} / \mathsf{B}_{k} $$ 한편 $K$ 가 다음과 같은 필트레이션을 가지는 필터드 컴플렉스라 하자. $$ K^{0} \subset \cdots \subset K^{i-1} \subset K^{i} \subset \cdots \subset K^{i+p} \subset K^{i+p+1} \subset \cdots \subset K $$ 이에 따라, $K^{i}$ 들은 모두 심플리셜 컴플렉스기 때문에 그 인덱스 $i$ 마다 대응되는 바운더리 오퍼레이터 $\partial_{k}^{i}$ 와 $\mathsf{C}_{k}^{i}, \mathsf{Z}_{k}^{i}, \mathsf{B}_{k}^{i}$ 을 생각할 수 있다.

정의 ¹

다음 그룹을 $K^{i}$ 의 $k$번째 $p$-퍼시스턴트 호몰로지 그룹^{$p$-persistent $k$th homology group of $K^{i}$}라 한다. $$ \mathsf{H}_{k}^{i,p} := \mathsf{Z}_{k}^{i} / \left( \mathsf{B}_{k}^{i+p} \cap \mathsf{Z}_{k}^{i} \right) $$ $\mathsf{H}_{k}^{i,p}$ 의 랭크 $\beta_{k}^{i,p}$ 를 $K^{i}$ 의 $k$번째 $p$-퍼시스턴트 베티 수라 한다.

설명

$p = 0$ 이면 $\mathsf{B}_{k}^{i+0} \cap \mathsf{Z}_{k}^{i} = \mathsf{B}_{k}^{i}$ 이므로 원래 호몰로지 그룹의 정의에 부합한다.

쏟아지는 첨자에 정신이 혼미해지겠지만 중요한 것은 $p$-퍼시스턴트라는 것이 주는 개념적인 의미 뿐이다. $$ \cdots \subset K^{i} \subset \cdots \subset K^{i+p} \subset \cdots $$ 실제로 필트레이션을 보면 $K^{i}$ 부터 $K^{i+p}$ 사이에도 심플리셜 컴플렉스가 끼어 있지만, $p$-퍼시스턴트 호몰로지 그룹의 정의를 보면 그들에 대한 언급이 전혀 없다. 반대로 말해서 그 중간은 관심이 없는, $i$ 부터 $i+p$ 까지는 똑같은 것으로 간주되기 때문에 정의에 포함시키지 않은 것이라 볼 수 있다. 이를 ‘$K^{i}$ 가 $K^{i+p}$ 까지 대수적으로 변화가 없다’고 해석한다면, 이제 $p$-퍼시스턴트^{$p$-지속적}라는 표현이 직관적으로 와닿을 것이다.