컴플렉스의 필트레이션
정의 1
가 (심플리셜) 컴플렉스라 하자. 부분집합 역시 (심플리셜) 컴플렉스면 의 부분컴플렉스subcomplex라 한다. 위와 같은 의 부분컴플렉스들로 이루어진 네스티드 시퀀스nested Sequence를 의 필트레이션filtration이라 한다. 일반적으로, 모든 에 대해서 이라 둔다. 이러한 필트레이션이 존재할 때, 를 필터드 컴플렉스filtered Complex라 한다.
설명
어센딩 체인
위 필터드 컴플렉스의 서브 컴플렉스들은 에 대해 다음처럼 어센딩 체인ascending Chain과 유사한 구조를 보여주고 있다. 필터여과라는 표현이 주는 어감을 따라 보기에는 가장 큰 심플렉스가 망에 걸러져가며(←왼쪽방향) 점점 작아지는 이미지를 떠올리게 되는데, 보통 수학에서는 꼭 작아지는 방향만으로 상상할 필요는 없다.
위상데이터분석
비에토리스-립스 컴플렉스나 체흐 컴플렉스와 같은 컴플렉스들은 주어진 반경 에 따라 결정되는데, 이 를 조금씩 증가시키며 얻어지는 컴플렉스들을 나열하면 그게 다름아닌 필터드 컴플렉스다. 이러한 필터드 컴플렉스에서 위상적으로 어떤 성질이 나타났다 사라졌다 하게 되는데, 그러한 지속성persistency을 살펴서 데이터의 특징을 분석하는 것이 위상데이터분석topological Data analysis의 한 기조다.
같이보기
여러가지 필트레이션
보편적으로 수학 전반에서는 위와 같이 형식적으로 네스티드 시퀀스nested Sequence를 이루는 구조를 가졌을 때 필트레이션filtration이라는 표현을 사용한다.
Zomorodian. (2005). Computing Persistent Homology: 2.2 ↩︎