📂위상데이터분석

컴플렉스의 필트레이션

정의 ¹

$K$ 가 (심플리셜) 컴플렉스라 하자. 부분집합 $L \subset K$ 역시 (심플리셜) 컴플렉스면 $K$ 의 부분컴플렉스^subcomplex라 한다. $$ \emptyset = K^{0} \subset K^{1} \subset \cdots \subset K^{m} = K $$ 위와 같은 $K$ 의 부분컴플렉스들로 이루어진 네스티드 시퀀스^{nested Sequence}를 $K$ 의 필트레이션^filtration이라 한다. 일반적으로, 모든 $i \ge m$ 에 대해서 $K^{i} = K^{m}$ 이라 둔다. 이러한 필트레이션이 존재할 때, $K$ 를 필터드 컴플렉스^{filtered Complex}라 한다.

설명

어센딩 체인

위 필터드 컴플렉스의 서브 컴플렉스들은 $m = 0,\cdots,5$ 에 대해 다음처럼 어센딩 체인^{ascending Chain}과 유사한 구조를 보여주고 있다. $$ K^{0} \subset K^{1} \subset K^{2} \subset K^{3} \subset K^{4} \subset K^{5} $$ 필터^여과라는 표현이 주는 어감을 따라 보기에는 가장 큰 심플렉스가 망에 걸러져가며(←왼쪽방향) 점점 작아지는 이미지를 떠올리게 되는데, 보통 수학에서는 꼭 작아지는 방향만으로 상상할 필요는 없다.

위상데이터분석

비에토리스-립스 컴플렉스나 체흐 컴플렉스와 같은 컴플렉스들은 주어진 반경 $\varepsilon > 0$ 에 따라 결정되는데, 이 $\varepsilon$ 를 조금씩 증가시키며 얻어지는 컴플렉스들을 나열하면 그게 다름아닌 필터드 컴플렉스다. 이러한 필터드 컴플렉스에서 위상적으로 어떤 성질이 나타났다 사라졌다 하게 되는데, 그러한 지속성^persistency을 살펴서 데이터의 특징을 분석하는 것이 위상데이터분석^{topological Data Analysis}의 한 기조다.

같이보기

여러가지 필트레이션

$$ A_{1} \subset A_{2} \subset \cdots \subset A_{n} \subset \cdots $$ 보편적으로 수학 전반에서는 위와 같이 형식적으로 네스티드 시퀀스^{nested Sequence}를 이루는 구조를 가졌을 때 필트레이션^filtration이라는 표현을 사용한다.

• 확률과정의 필트레이션
• 컴플렉스의 필트레이션
• 벡터공간의 플래그