📂추상대수

등급 모듈의 정의

빌드업

표기 상 $n,m,i \in \mathbb{Z}$ 이라고 하자.

등급환

링 $\left( R , + , \cdot \right)$ 이 아벨리안 그룹 $R$ 의 직합 $\left( R , \otimes \right) \simeq \bigoplus_{i} R_{i}$ 이 장착된 등급 환^{graded ring}이라는 것은 $R_{i}$ 들 사이의 곱셈 $\otimes$ 가 $$R_{n} \otimes R_{m} \to R_{n+m}$$ 과 같이 정의된다는 것이다. 직합의 각 파트인 $R_{i}$ 의 원소들은 동질적^homogeneous이라 불리며, 차수^degree $i$ 를 가진다. 이 정의에 따르면 모든 $e \in R_{i}$ 의 차수는 $\deg e = i$ 다. 예로써 $Z = \mathbb{Z}$ 에 대해 $Z [t]$ 와 같은 다항식환을 생각해보면 $Z_{n} = \mathbb{Z} t^{n}$ 이며 $2 t^{6} \in Z_{6}$ 은 $Z_{6}$ 에서 동질적이며 차수가 $6$ 이고 $7 t^{3} \in Z_{3}$ 은 $Z_{3}$ 에서 동질적이며 차수가 $3$ 이다. 그러나 이들의 합 $2 t^{6} + 7 t^{3} \in Z[t]$ 은 동질적이지 않고, 그들의 곱 $$2 t^{6} \otimes 7 t^{3} = \left( 2 \cdot 7 \right) \left( t^{6} \cdot t^{3} \right) = 14 t^{9} \in Z_{6+3}$$ 은 $Z_{9}$ 에서 동질적이며 차수는 $9$ 다. 예시에서처럼 $n \ge 0$ 인 경우엔 표준 등급^{standard Grading}을 가진다고 하며, 표현이 어려워서 그렇지 다항식환을 다뤄본 사람이라면 그다지 낯설지 않게 받아들일 수 있음을 확인할 수 있다. 가장 낯선 것은 아마 $\otimes$ 라는 표현일 것이며 이 때문에 등급^grade이라는 표현이 사용되었다. 얼마든지 더 어렵고 추상적인 예시를 생각해볼 순 있지만, 일단은 등급 모듈의 정의로 넘어가보자.

정의 ¹

$R$-모듈 $M$ 이 직합 $M \simeq \bigoplus_{i} M_{i}$ 이 장착된 등급 모듈^{graded Module}이라는 것은 $M$ 상에서 $R$ 의 작용 $\otimes$ 가 다음과 같이 정의된다는 것이다. $$R_{n} \otimes M_{m} \to M_{n+m}$$

설명

정의에서 뭔가 아리송하긴 해도 결국 등급 모듈이란 등급환과 비슷한데 모듈인 것이며, 쉽게는 다항식환에서 우리가 필요한 성질을 가질수도 있음을 알 수 있다. 특히 베이스 링^{base ring}이 되는 $R$ 이 PID(주 아이디얼 정역) $D$ 일 때, 유한 생성 아벨군의 기본정리과 흡사하게 그 구조를 특성화^{characteriazation}할 수 있는 다음의 정리가 알려져 있다.

등급 모듈의 구조: PID $D$ 상에서의 모든 등급 모듈 $M$ 은 다음과 같은 꼴로 유일하게 분해된다. $$\left( \bigoplus_{i=1}^{n} \sum^{\alpha_{i}} D \right) \oplus \left( \bigoplus_{j=1}^{m} \sum^{\gamma_{j}} D / d_{j} D \right)$$ 여기서 $d_{j} \in D$ 들은 $d_{j} \mid d_{j+1}$ 을 만족 시키며 $\alpha_{i} , \gamma_{j} \in \mathbb{Z}$ 이고, $\sum^{\alpha}$ 는 $\alpha$ 만큼 등급이 올라가는 것을 나타낸다. 왼쪽을 프리^free 부분, 오른쪽을 토져널^torsional 부분이라 한다.