📂위상데이터분석

토러스의 기본군은 두 정수군의 곱과 동형이다

정리 ¹

$$ \pi_{1} \left( T^{2} \right) \simeq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $$ 토러스 $T^{2}$의 기본군은 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 다.

증명

유도된 호모몰피즘의 성질:

• [2]: 만약 $\varphi : X \to Y$ 가 호메오멀피즘이면, $\varphi_{\ast} : \pi_{1} \left( X, x \right) \to \pi_{1} \left( Y, \varphi (x) \right)$ 은 아이소멀피즘이다.

곱공간의 기본군: $$ \pi_{1} \left( X \times Y \right) \simeq \pi_{1} \left( X \right) \times \pi_{1} \left( Y \right) $$

단위원의 기본군: $$ \pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right) \simeq \mathbb{Z} $$

토러스 $T^{2}$ 는 $S^{1} \times S^{1}$ 과 호메오멀픽하고, 단위원 $S^{1}$ 의 기본군은 $\mathbb{Z}$ 과 아이소멀픽하므로 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} \pi_{1} \left( T^{2} \right) \simeq & \pi_{1} \left( S^{1} \times S^{1} \right) \\ \simeq & \pi_{1} \left( S^{1} \right) \times \pi_{1} \left( S^{1} \right) \\ \simeq & \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{align*} $$

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