📂위상데이터분석

호모토피 타입

정의 ¹

두 위상공간 $X, Y$ 에 대해 다음을 만족하는 연속함수 $f : X \to Y$, $g: Y \to X$ 가 존재하면 $X, Y$ 가 같은 호모토피 타입^{homotopy Type}을 가진다고 하며 $X, Y$ 혹은 $f, g$ 가 호모토피 동치^{homotopy Equivalence}라고도 한다. $$\begin{align*} g \circ f \simeq& \text{id}_{X} \\ f \circ g \simeq& \text{id}_{Y} \end{align*}$$ 여기서 $\text{id}_{\cdot}$ 은 항등함수이고, $f \simeq g$ 는 $f,g$ 가 호모토픽함을 의미한다.

설명

같은 호모토피 타입을 가진다는 것, 다시 말해 호모토피 동치를 고려하는 이유는 자명하게도 위상 동형에서 살짝 물러나서 완화된 ‘같음’을 이야기 하기 위함이다. 이를 위해서 포기한 것은 정의에서 $f$ 와 $g$ 가 서로 역함수라는 조건으로, 반대편 공간으로 갔다가 돌아왔을 때 원래의 점이기만 하면 충분하다.