📂위상데이터분석

대수위상에서의 커버링과 리프트

정의 ^{1 2}

두 위상공간 $\widetilde{X}, X$ 에 대해 $p : \widetilde{X} \to X$ 가 연속 함수라 하자. 임의의 인덱스 집합을 $\forall$ 와 같이 나타내고, $\widetilde{U}_{\alpha} \subset \widetilde{X}$ 에서 $p$ 의 제한함수를 간단히 $p |_{\widetilde{U}_{\alpha}} : \widetilde{U}_{\alpha} \to U$ 와 같이 쓰자.

• $I = [0,1]$ 은 $0$ 부터 $1$ 까지의 단위구간이다.
• $\bigsqcup$ 은 서로소인 집합들의 합집합을 나타낸다.

커버링

1. $X$ 의 오픈셋 $U \subset X$ 가 $p$ 에 의해 이븐하게 커버된다^{evenly Covered by $p$}는 것은, 모든 $\alpha \in \forall$ 에 대응되는 모든 제한함수 $p |_{\widetilde{U}_{\alpha}}$ 들이 호메오멀피즘이며 $$ \alpha_{1} \ne \alpha_{2} \implies \widetilde{U}_{\alpha_{1}} \cap \widetilde{U}_{\alpha_{2}} = \emptyset $$ 을 만족하는, 즉 서로소인 $\widetilde{X}$ 의 오픈셋 $\widetilde{U}_{\alpha} \subset \widetilde{X}$ 들에 대해 $$ p^{-1} \left( U \right) = \bigsqcup_{\alpha \in \forall} \widetilde{U}_{\alpha} $$ 이 성립한다는 것이다.
2. $p : \widetilde{X} \to X$ 가 전사 함수이면서, 모든 $x \in X$ 에 대해서 $p$ 에 의해 이븐하게 커버되는 $x$ 의 오픈 네이버후드 $U_{x} \subset X$ 가 존재하면 $p : \widetilde{X} \to X$ 를 커버링^covering이라 한다.
3. 커버링 $p$ 의 정의역 $\widetilde{X}$ 를 커버링 스페이스^{convering space}, 공역 $X$ 를 베이스 스페이스^{base space}라 한다.

리프트

4. $n \in \mathbb{N}$ 이라고 하자. $f : I^{n} \to X$ 와 $\widetilde{f} : I^{n} \to \widetilde{X}$ 가 다음을 만족하면 $\widetilde{f}$ 를 $f$ 의 리프트^lift라 한다. $$ f = p \circ \widetilde{f} $$

예시

수식적인 정의는 너무 어렵고, 간단한 예시로써 $X = S^{1}$ 과 $\widetilde{X} = \mathbb{R}$ 를 생각해보자. 솔직히 까놓고 말해서 정의에서 나오는 커버링과 리프트는 이 예시의 일반화 수준이다.

직관적인 리프트

$\widetilde{X} = \mathbb{R}$ 이라고 썼지만 그림으로는 $\mathbb{R}^{3}$ 속에 임베딩 된 나선으로 나타냈는데, 이는 나선 $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{3}$ 에 대해 $$ s \mapsto \left( \cos 2 \pi s, \sin 2 \pi s , s \right) $$ 와 같이 나타내는 것과 같다. 이제 $I = [0,1]$ 에서 $\mathbb{R}$ 로의 패스를 $$ \widetilde{\omega}_{n} (s) := ns $$ 와 같이 정의하면 이는 $0$ 에서 시작해서 $n$ 에서 끝나며, 나선을 $n \in \mathbb{Z}$ 바퀴 감아타는 것이 된다. 한편 스피어 $S^{1}$ 는 $2$차원에서의 단위원 $$ \omega_{n} (s) := \left( \cos 2 \pi n s , \sin 2 \pi n s \right) $$ 으로 나타낼 수 있으며, 자연스럽게 프로젝션^projection $p : (x,y,z) \mapsto (x,y)$ 가 커버링이 된다. 직관적으로 봤을 때 $p$ 는 풀어진 나선을 평면으로 보내는 사영이고, 반대로 $\widetilde{\omega}_{n}$ 은 수없이 겹쳐있는 $\omega_{n}$ 를 입체 공간으로 끌어올린^lift 것이니 리프트라 부르기에 적절하다. 이걸 그냥 수식으로 적으면 $$ \omega_{n} = p \circ \widetilde{\omega}_{n} $$ 이다. 이제 정의를 다시 보면 지금까지는 $I^{1}$ 에서 하나의 직관적인 예시고, 나열된 조건을 모두 만족시킨다면 그들을 커버링이나 리프트라 부르지 않을 이유가 없다. 대수위상의 맥락에서 곧장 떠올릴 수 있는 가능성은 $I^{2}$ 에서의 리프트, 즉 호모토피 $H : I^{2} \to X$ 의 리프트를 생각하는 것이다.

이븐리 커버가 너무 어렵다

정의에서 이븐리 커버가 엄청 어렵게 쓰여있는데 직관적으로 생각해보면 사실 쉬운 개념이다.

$U \subset S^{1}$ 의 프리 이미지는 나선 위에서 $\widetilde{U}_{k}$ 과 같이 서로소인 집합들의 합집합으로써 표현이 되며, 그 각각은 작은 조각인 $U$ 와 호메오멀픽하다. 다만 이 예시에서는 운 좋게도 정수 $k$ 와 대응되도록 인덱스가 주어져있고 그 형태도 간단하지만 실제로는 정의 그대로 인덱스 집합 $\forall$ 이 얼마나 괴상할지 짐작도 할 수 없다. 때문에 대부분의 수학도가 쉽고 간단한 정의를 선호함에도 불구하고 이븐리 커버의 서술에 대해선 타협하기 어렵다.