📂동역학

파이겐바움 보편성

추측

$$ x \mapsto f_{\alpha} (x) \qquad , x \in \mathbb{R}^{1} $$ 위와 같이 정의된 맵으로 표현되는 동역학계가 $\alpha$ 를 바이퍼케이션 파라미터로 가지는 피리어드 더블링 바이퍼케이션을 보인다고 하자. $k$번째 피리어드 더블링이 일어나는 파라미터의 시퀀스를 $\left\{ \alpha_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ 이라고 할 때, 이들 사이의 길이의 비는 어떤 상수 $\mu_{F} \approx 4.6692 \ldots$ 로 수렴할 것이다¹: $$ \lim_{k \to \infty} {\frac{ \alpha_{k} - \alpha_{k-1} }{ \alpha_{k+1} - \alpha_{k} }} = \mu_{F} $$

설명

파이겐바움 추측^{Feigenbaum conjectures}이란, 로지스틱 패밀리 뿐만 아니라 앞서 언급한 조건 하에서 일어나는 피리어드 더블링은 그 시스템이 무엇이든 보편적으로 등장하는 비를 가지고 일어난다는 것으로 1978년 파이겐바움에 의해 보고 되었다².

예를 들어, 로지스틱 맵과 헤논 맵^{Hénon map}은 다른 시스템이지만 다음과 같이 피리어드 더블링의 주기는 같은 점으로 수렴하고 있음을 관찰할 수 있다³.

결론적으로 이 추측은 사실인 것으로 밝혀져서 파이겐바움 보편성^{Feigenbaum universality}이 되었고, $\mu_{F}$ 는 파이겐바움 상수^{Feigenbaum constant}라 불리게 되었다^{4 5}.

표기에서 시퀀스 $\left\{ \alpha_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ 는 극한 $\alpha_{\infty}$ 을 가지며, 이는 시스템이 캐어릭해지는 것을 의미한다.