📂위상데이터분석

계산위상에서의 바운더리 행렬

정의 ¹

심플리셜 컴플렉스 $K$ 가 주어져 있을 때 각 차원 $p$ 에 대해 $p$-심플렉스의 수를 $n_{p}$ 라 하고 $P-1$-심플렉스의 수를 $n_{p-1}$ 라 하자. $p-1$차원의 $i$번째 $(p-1)$-심플렉스가 $j$번째 $p$-심플렉스의 페이스면 $a_{i}^{j} = 1$ 이고 그 외에는 $a_{i}^{j} = 0$ 이라고 하자. 행렬 $\partial_{p} := \left[ a_{i}^{j} \right]_{i = 1 , \cdots , n_{p-1}}^{j = 1 , \cdots , n_{p}}$ 을 $K$ 의 $p$번째 바운더리 행렬^{boundary matrix}라 한다.

설명

정의에서는 심플리셜 컴플렉스라고 해놓고 막상 아래 설명에서 추상 심플리셜 컴플렉스만 언급하는 이유는 그냥 바운더리 행렬이 궁금해서 찾아본 사람 입장에서 봤을 때 심플리셜 컴플렉스의 추상화가 너무 과하기 때문이다. 개념적으로는 둘 중 어느 것으로 정의를 받아들이든 전혀 문제가 없고, 상상하고 계산하기 편한 건 추상 심플리셜 컴플렉스다.

예시

$$K = \left\{ \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\} , \left\{ 3 \right\} , \left\{ 4 \right\}, \left\{ 1,2 \right\} , \left\{ 2,3 \right\} , \left\{ 3,1 \right\} , \left\{ 1,4 \right\} , \left\{ 1,2,3 \right\} \right\}$$ 정의만 보고 바운더리 행렬가 무엇인지 알 수 있을 리가 없고, 예시 하나만 보면 딱 느낌이 온다. 가령 위와 같은 추상 심플리셜 컴플렉스 $K$ 가 주어져있다고 한다면, $p=2$ 번째 바운더리 행렬은 $$\partial_{2} = \begin{matrix} & \begin{matrix} 123 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 12 \\ 23 \\ 31 \\ 14 \end{matrix} & \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \end{matrix}$$ 이고, $p=1$ 번째 바운더리 행렬은 $$\partial_{1} = \begin{matrix} & \begin{matrix} 12 & 23 & 31 & 14 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{matrix}$$ 이다. $\partial_{p}$ 은 $n_{p} \times n_{p-1}$ 사이즈 행렬이며, 좀 더 직관적으로 말하자면 행에 $(p-1)$-심플렉스를 나열하고 열에 $p$-심플렉스를 나열한 뒤 그 포함관계에 따라 $1$ 혹은 $0$ 으로 성분을 준 불리언^boolean 행렬이다.

의미

추상화에 문제가 없다면 호몰로지^homology에 어느정도 감이 있다 치고 다음의 설명을 읽어보자.

바운더리 행렬의 정의 자체는 단순하지만, 실제로 가지는 의미는 그보다 훨씬 심오하며 쓰임새도 많다. 추상 심플리셜 컴플렉스 $K$ 로 만들어지는 심플리셜 호몰로지 그룹을 생각했을 때, 우선 성분의 값 자체를 떠나서 이것이 가지는 의미 자체는 그 바운더리 호모몰피즘 $\partial_{p}$ 이 $p$-체인을 $(p-1)$차원으로 보내는 것, 다시 말해 호모몰피즘의 변수 치환을 나타낸 행렬이다.