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유한 생성 아벨군의 기본정리 증명 📂위상데이터분석

유한 생성 아벨군의 기본정리 증명

정리

유한 생성 프리 그룹 GG 가 아벨리안 그룹이고, T⊂GT \subset G 를 GG 의 토션 서브 그룹이라 하자.

  • (1): 유한 랭크 β≥0\beta \ge 0 를 가지며 다음을 만족하는 프리 아벨군 H⊂GH \subset G 이 존재한다. G=H⊕T G = H \oplus T
  • (2): 오더 ti>1t_{i} > 1 인 유한 순환군을 TiT_{i} 라 하자. t1∣t2∣⋯∣tkt_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k} 와 다음을 만족하는 T1,⋯ ,TkT_{1} , \cdots , T_{k} 이 존재한다. T=T1⊕⋯⊕Tk T = T_{1} \oplus \cdots \oplus T_{k}
  • (3): β\beta 와 t1,⋯ ,tkt_{1} , \cdots , t_{k} 는 GG 에 의해 유일하게 결정된다.
  • a∣ba \mid b 는 aa 가 bb 의 약수라는 것이다.

설명

기본정리fundamental theorem라는 명명에서 짐작할 수 있듯 유한 생성 아벨군의 기본정리는 추상대수에서 대단히 중요하며, 특히 생성원generator이 유한하다는 점에서 위상수학과의 접점이 생긴다.

  • 직합의 성질에서 GG 와 TT 의 몫군은 G/T≃HG / T \simeq H 임을 알 수 있다.
  • (3)에서 β,t1,⋯ ,tk\beta, t_{1} , \cdots , t_{k} 가 유일하다고는 했지만 H,T1,⋯ ,TkH, T_{1} , \cdots , T_{k} 가 유일하다고 하진 않았던 것에 주의하라.

예시

예로써 G=Z12×Z3G = \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}^{3} 라면, T=Z12T = Z_{12} 는 GG 의 토션 서브그룹이다.

  • (1) 유한랭크 β=3\beta = 3 인 프리 아벨군 H=Z3H = \mathbb{Z}^{3} 가 존재한다.
  • (2) t1=2t_{1} = 2 이고 t2=6t_{2} = 6 을 오더로 가지는 T1=Z2T_{1} = Z_{2} 와 T2=Z6T_{2} = Z_{6} 는 t1∣t2t_{1} \mid t_{2} 와 다음을 만족시킨다. T=Z12=Z2⊕Z6=T1⊕T2 T = Z_{12} = Z_{2} \oplus Z_{6} = T_{1} \oplus T_{2}

베티 수와 토션 계수

(1)에서 언급되는 유한 랭크 β\beta 를 GG 의 베티 수betti number라 부르고, (2)의의 t1,⋯ ,tkt_{1} , \cdots , t_{k} 들을 GG 의 토션 계수torsion coefficient라 한다. 이는 (3)에 따라 유일하게 결정되므로, 어쩌면 유한 생성 아벨군 GG 가 k+1k+1 개의 자연수로 요약된다는 의미로 받아들일 수 있을지도 모른다.

증명 1

(1), (2)

유한 집합 S={gi}i=1nS = \left\{ g_{i} \right\}_{i=1}^{n} 를 GG 의 생성원의 집합이라 하고, F:=F[S]F := F[S] 를 SS 로 생성되는 프리 아벨리안 그룹이라 하자. λ:F→G\lambda : F \to G 를 gi∈Fg_{i} \in F 를 gi∈Gg_{i} \in G 그 자신에게 보내는 사상map이라고 하면 전사인 호모몰피즘으로 확장될 수 있다.(이는 GG 가 유한생성이라는 가정에 의해 보장된다. SS 에 속하지 않는 GG 의 생성원 또한 유한히 존재하므로 카운터블한 경우의 수만이 존재하며, 어떻게든 대응시킬 수 있다.)

제1동형 정리: 준동형사상 ϕ:G→G′\phi : G \to G' 이 존재하면 G/ker⁡(ϕ)≃ϕ(G) G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)

R:=ker⁡λR := \ker \lambda 라 하면 λ\lambda 가 전사이므로 λ(G)=G\lambda (G) = G 이고, RR 이 λ\lambda 의 커널이므로 제1동형 정리에 따라 F/R≃GF / R \simeq G 다.

프리 그룹의 서브 그룹: FF 가 프리 아벨리안 그룹이라 하자.

  • [1]: FF 의 모든 서브그룹 RR 은 프리 그룹이다.
  • [2]: 만약 FF 가 랭크 nn 이라면, FF 의 서브그룹 R⊂FR \subset F 은 랭크 r≤nr \le n 인 프리 아벨리안 그룹이다.
  • [3]: 그 뿐만 아니라, 다음 세 조건을 만족하는 FF 의 기저 e1,⋯ ,en∈Fe_{1} , \cdots , e_{n}\in F 와 자연수 t1,⋯ ,tkt_{1} , \cdots , t_{k} 들이 존재한다.
    • (i): k≤rk \le r 이고, 모든 ii 에 대해 ti>1t_{i} > 1 이다.
    • (ii): t1e1,⋯ ,tkek,ek+1,⋯ ,ert_{1}e_{1} , \cdots , t_{k}e_{k} , e_{k+1} , \cdots , e_{r} 은 RR 의 기저다.
    • (iii): t1∣t2∣⋯∣tkt_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k} 다. 즉, tit_{i} 는 ti+1t_{i+1} 를 나눈다.

여기까지, S={gi}i=1nS = \left\{ g_{i} \right\}_{i=1}^{n} 를 통해 논의한 것과 별개로 FF 는 프리 아벨리안 그룹이므로 위 보조정리의 [3]가 적용된 FF 와 RR 의 기저를 쓰기 편하게 새로이 잡아도 아무 문제 없다. FF 는 다음과 같이 eie_{i} 를 생성원으로 갖는 무한 순환군 Fi:=<ei>F_{i} := \left< e_{i} \right> 들의 직합 F=F1⊕⋯⊕Fn F = F_{1} \oplus \cdots \oplus F_{n} 이며, RR 은 t1∣t2∣⋯∣tkt_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k} 인 {ti>1}i=1k\left\{ t_{i} > 1 \right\}_{i=1}^{k} 에 대해 다음과 같다. R=t1F1⊕⋯⊕tkFk⊕Fk+1⊕⋯⊕Fr R = t_{1} F_{1} \oplus \cdots \oplus t_{k} F_{k} \oplus F_{k+1} \oplus \cdots \oplus F_{r}

직합의 성질: G=G1⊕G2G = G_{1} \oplus G_{2} 이라고 하자. 만약 H1H_{1} 이 G1G_{1} 의 부분군, H2H_{2} 가 G2G_{2} 의 부분군이라면, H1H_{1} 와 H2H_{2} 역시 직합으로 나타낼 수 있으며 특히 다음이 성립한다. GH1⊕H2≃G1H1⊕G2H2 {{ G } \over { H_{1} \oplus H_{2} }} \simeq {{ G_{1} } \over { H_{1} }} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }}

tiFi⊂Fit_{i} F_{i} \subset F_{i} 은 각각 FiF_{i} 의 부분군이므로, F/R=F1⊕⋯⊕Fnt1F1⊕⋯⊕tkFk⊕Fk+1⊕⋯⊕Fr=[F1t1F1⊕⋯⊕F1tkFk]⊕[Fk+1Fk+1⊕⋯⊕FrFr]+⊕Fr+1⊕⋯⊕Fn=[F1t1F1⊕⋯⊕F1tkFk]+⊕Fr+1⊕⋯⊕Fn \begin{align*} F / R =& {{ F_{1} \oplus \cdots \oplus F_{n} } \over { t_{1} F_{1} \oplus \cdots \oplus t_{k} F_{k} \oplus F_{k+1} \oplus \cdots \oplus F_{r} }} \\ =& \left[ {{ F_{1} } \over { t_{1} F_{1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{1} } \over { t_{k} F_{k} }} \right] \oplus \left[ {{ F_{k+1} } \over { F_{k+1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{r} } \over { F_{r} }} \right] +\oplus F_{r+1} \oplus \cdots \oplus F_{n} \\ =& \left[ {{ F_{1} } \over { t_{1} F_{1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{1} } \over { t_{k} F_{k} }} \right] +\oplus F_{r+1} \oplus \cdots \oplus F_{n} \end{align*}

이다. [ NOTE: 아래 첨자를 나타내기 위해 k≤r≤nk \le r \le n 이 쓰였고, 베티 수는 n−kn - k 이 아니라 n−rn - r 이다. 베티 수를 구하기 위해서는 토션 계수의 수만 구한다고 될 일이 아니라는 것이다. ] 한편 F/R≃GF / R \simeq G 이었으므로, 아이소멀피즘 f:G→(Z/t1Z⊕⋯⊕Z/tk)⊕(Z⊕⋯⊕Z) f : G \to \left( \mathbb{Z} / t_{1} \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} / t_{k} \right) \oplus \left( Z \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \right) 이 존재한다. GG 의 토션 서브그룹 TT 는 ff 에 의해 (Z/t1Z⊕⋯⊕Z/tk)\left( \mathbb{Z} / t_{1} \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} / t_{k} \right) 에 대응되어야 하며, 토션 서브그룹은 보존된다.

(3)

스미스 노멀 폼의 유일성에 의해 자명하다.

■

  1. Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology: p25. ↩︎