📂위상데이터분석

유한 생성 아벨군의 기본정리 증명

정리

유한 생성 프리 그룹 $G$ 가 아벨리안 그룹이고, $T \subset G$ 를 $G$ 의 토션 서브 그룹이라 하자.

• (1): 유한 랭크 $\beta \ge 0$ 를 가지며 다음을 만족하는 프리 아벨군 $H \subset G$ 이 존재한다. $$ G = H \oplus T $$
• (2): 오더 $t_{i} > 1$ 인 유한 순환군을 $T_{i}$ 라 하자. $t_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k}$ 와 다음을 만족하는 $T_{1} , \cdots , T_{k}$ 이 존재한다. $$ T = T_{1} \oplus \cdots \oplus T_{k} $$
• (3): $\beta$ 와 $t_{1} , \cdots , t_{k}$ 는 $G$ 에 의해 유일하게 결정된다.

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• $a \mid b$ 는 $a$ 가 $b$ 의 약수라는 것이다.

설명

기본정리^{fundamental theorem}라는 명명에서 짐작할 수 있듯 유한 생성 아벨군의 기본정리는 추상대수에서 대단히 중요하며, 특히 생성원^generator이 유한하다는 점에서 위상수학과의 접점이 생긴다.

• 직합의 성질에서 $G$ 와 $T$ 의 몫군은 $G / T \simeq H$ 임을 알 수 있다.
• (3)에서 $\beta, t_{1} , \cdots , t_{k}$ 가 유일하다고는 했지만 $H, T_{1} , \cdots , T_{k}$ 가 유일하다고 하진 않았던 것에 주의하라.

예시

예로써 $G = \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}^{3}$ 라면, $T = Z_{12}$ 는 $G$ 의 토션 서브그룹이다.

• (1) 유한랭크 $\beta = 3$ 인 프리 아벨군 $H = \mathbb{Z}^{3}$ 가 존재한다.
• (2) $t_{1} = 2$ 이고 $t_{2} = 6$ 을 오더로 가지는 $T_{1} = Z_{2}$ 와 $T_{2} = Z_{6}$ 는 $t_{1} \mid t_{2}$ 와 다음을 만족시킨다. $$ T = Z_{12} = Z_{2} \oplus Z_{6} = T_{1} \oplus T_{2} $$

베티 수와 토션 계수

(1)에서 언급되는 유한 랭크 $\beta$ 를 $G$ 의 베티 수^{betti number}라 부르고, (2)의의 $t_{1} , \cdots , t_{k}$ 들을 $G$ 의 토션 계수^{torsion Coefficient}라 한다. 이는 (3)에 따라 유일하게 결정되므로, 어쩌면 유한 생성 아벨군 $G$ 가 $k+1$ 개의 자연수로 요약된다는 의미로 받아들일 수 있을지도 모른다.

증명 ¹

(1), (2)

유한 집합 $S = \left\{ g_{i} \right\}_{i=1}^{n}$ 를 $G$ 의 생성원의 집합이라 하고, $F := F[S]$ 를 $S$ 로 생성되는 프리 아벨리안 그룹이라 하자. $\lambda : F \to G$ 를 $g_{i} \in F$ 를 $g_{i} \in G$ 그 자신에게 보내는 사상^map이라고 하면 전사인 호모몰피즘으로 확장될 수 있다.(이는 $G$ 가 유한생성이라는 가정에 의해 보장된다. $S$ 에 속하지 않는 $G$ 의 생성원 또한 유한히 존재하므로 카운터블한 경우의 수만이 존재하며, 어떻게든 대응시킬 수 있다.)

제1동형 정리: 준동형사상 $\phi : G \to G'$ 이 존재하면 $$ G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G) $$

$R := \ker \lambda$ 라 하면 $\lambda$ 가 전사이므로 $\lambda (G) = G$ 이고, $R$ 이 $\lambda$ 의 커널이므로 제1동형 정리에 따라 $F / R \simeq G$ 다.

프리 그룹의 서브 그룹: $F$ 가 프리 아벨리안 그룹이라 하자.

• [1]: $F$ 의 모든 서브그룹 $R$ 은 프리 그룹이다.
• [2]: 만약 $F$ 가 랭크 $n$ 이라면, $F$ 의 서브그룹 $R \subset F$ 은 랭크 $r \le n$ 인 프리 아벨리안 그룹이다.
• [3]: 그 뿐만 아니라, 다음 세 조건을 만족하는 $F$ 의 기저 $e_{1} , \cdots , e_{n}\in F$ 와 자연수 $t_{1} , \cdots , t_{k}$ 들이 존재한다.
  • (i): $k \le r$ 이고, 모든 $i$ 에 대해 $t_{i} > 1$ 이다.
  • (ii): $t_{1}e_{1} , \cdots , t_{k}e_{k} , e_{k+1} , \cdots , e_{r}$ 은 $R$ 의 기저다.
  • (iii): $t_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k}$ 다. 즉, $t_{i}$ 는 $t_{i+1}$ 를 나눈다.

여기까지, $S = \left\{ g_{i} \right\}_{i=1}^{n}$ 를 통해 논의한 것과 별개로 $F$ 는 프리 아벨리안 그룹이므로 위 보조정리의 [3]가 적용된 $F$ 와 $R$ 의 기저를 쓰기 편하게 새로이 잡아도 아무 문제 없다. $F$ 는 다음과 같이 $e_{i}$ 를 생성원으로 갖는 무한 순환군 $F_{i} := \left< e_{i} \right>$ 들의 직합 $$ F = F_{1} \oplus \cdots \oplus F_{n} $$ 이며, $R$ 은 $t_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k}$ 인 $\left\{ t_{i} > 1 \right\}_{i=1}^{k}$ 에 대해 다음과 같다. $$ R = t_{1} F_{1} \oplus \cdots \oplus t_{k} F_{k} \oplus F_{k+1} \oplus \cdots \oplus F_{r} $$

직합의 성질: $G = G_{1} \oplus G_{2}$ 이라고 하자. 만약 $H_{1}$ 이 $G_{1}$ 의 부분군, $H_{2}$ 가 $G_{2}$ 의 부분군이라면, $H_{1}$ 와 $H_{2}$ 역시 직합으로 나타낼 수 있으며 특히 다음이 성립한다. $$ {{ G } \over { H_{1} \oplus H_{2} }} \simeq {{ G_{1} } \over { H_{1} }} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }} $$

$t_{i} F_{i} \subset F_{i}$ 은 각각 $F_{i}$ 의 부분군이므로, $$ \begin{align*} F / R =& {{ F_{1} \oplus \cdots \oplus F_{n} } \over { t_{1} F_{1} \oplus \cdots \oplus t_{k} F_{k} \oplus F_{k+1} \oplus \cdots \oplus F_{r} }} \\ =& \left[ {{ F_{1} } \over { t_{1} F_{1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{1} } \over { t_{k} F_{k} }} \right] \oplus \left[ {{ F_{k+1} } \over { F_{k+1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{r} } \over { F_{r} }} \right] +\oplus F_{r+1} \oplus \cdots \oplus F_{n} \\ =& \left[ {{ F_{1} } \over { t_{1} F_{1} }} \oplus \cdots \oplus {{ F_{1} } \over { t_{k} F_{k} }} \right] +\oplus F_{r+1} \oplus \cdots \oplus F_{n} \end{align*} $$

이다. [ NOTE: 아래 첨자를 나타내기 위해 $k \le r \le n$ 이 쓰였고, 베티 수는 $n - k$ 이 아니라 $n - r$ 이다. 베티 수를 구하기 위해서는 토션 계수의 수만 구한다고 될 일이 아니라는 것이다. ] 한편 $F / R \simeq G$ 이었으므로, 아이소멀피즘 $$ f : G \to \left( \mathbb{Z} / t_{1} \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} / t_{k} \right) \oplus \left( Z \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \right) $$ 이 존재한다. $G$ 의 토션 서브그룹 $T$ 는 $f$ 에 의해 $\left( \mathbb{Z} / t_{1} \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} / t_{k} \right)$ 에 대응되어야 하며, 토션 서브그룹은 보존된다.

(3)

스미스 노멀 폼의 유일성에 의해 자명하다.

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