📂위상데이터분석

호모몰피즘의 스미스 노멀 폼

정리 ¹

프리 아벨리안 그룹 $G$ 와 $G'$ 에 대해 $a_{1} , \cdots , a_{n}$ 가 $G$ 의 기저고, $a_{1}' , \cdots , a_{m}'$ 가 $G'$ 의 기저라 하자. 만약 함수 $f : G \to G'$ 가 호모몰피즘이라면 다음을 만족하는 유일한 정수의 집합 $\left\{ \lambda_{ij} \right\} \subset \mathbb{Z}$ 이 존재한다. $$f \left( a_{j} \right) = \sum_{i=1}^{m} \lambda_{ij} a_{i}'$$ 이 때 행렬 $\left( \lambda_{ij} \right) \in \mathbb{Z}^{m \times n}$ 을 ($G$ 와 $G'$ 의 기저에 관한) $f$ 의 행렬이라 부른다.

프리 아벨리안 그룹 $G$, $G'$ 의 랭크가 각각 $n,m$ 이고 $f : G \to G'$ 가 호모몰피즘이라면, 다음과 같은 행렬을 가지는 호모몰피즘 $g$ 가 존재한다. $$\begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{Z}^{m \times n}$$ 여기서 $d_{1} , \cdots, d_{r} \in \mathbb{N}$ 이고 $d_{1} \mid \cdots \mid d_{r}$, 즉 $d_{k}$ 는 $d_{k+1}$ 의 약수^divisor여야한다.

설명

정리에서 언급된 행렬은 이른바 스미스 노멀 폼으로써, 먼저 $f$ 와 $\lambda_{ij}$ 들이 주어져 있다면 $d_{1} , \cdots, d_{r}$ 들은 가우스 소거법을 통해 구해질 수 있으므로 그 자체로 $\lambda_{ij}$ 의 선형결합이다. 스미스 노멀 폼을 얻는 과정의 행 연산들은 $G'$ 의 기저를, 열 연산들은 $G$ 의 기저들을 건드리는 것에 해당한다.

이 정리는 사실상 두 프리 그룹 $G, G'$ 사이를 생각할 때 $m \times n$ 개의 $\lambda_{ij}$ 를 다 볼 것도 없이 $r \le \min \left( m,n \right)$ 개의 $d_{1} , \cdots , d_{r}$ 만 있으면 충분하며, 이들은 $G$ 에서 $G'$ 사이의 정보를 가장 담백하게 요약한 것으로 볼 수 있다.

$$\begin{align*} f(a) =& x + y - z \\ f(b) =& x - y + z \end{align*}$$ 예로써 $f: F[a,b] \to F[x,y,z]$ 이 위와 같이 정의되어 있다면 그야 당연히 호모몰피즘이고 $f$ 의 행렬은 다음과 같다. $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$ 우변은 좌변의 스미스 노멀 폼이다. 호모몰피즘의 행렬이 좌변처럼 아무렇게나 생겨먹은 게 아니라 일단 스미스 노멀 폼이 되었다면, 그 꼴은 유일하다.

정리

$G$ 와 $G'$ 의 아무 기저나 잡고 아무 호모몰피즘 $f \left( a_{j} \right) = \sum_{i=1}^{m} \lambda_{ij} a_{i}'$ 를 정의하자. $f$ 의 행렬 $\left( \lambda_{ij} \right)$ 은 정수로 이루어진 행렬의 집합 $\mathbb{Z}^{m \times n}$ 에 속한다.

스미스 노멀 폼 계산 알고리즘: $R$ 이 주아이디얼정역일 때, 모든 행렬 $A \in R^{m \times n}$ 에 대해 스미스 노멀 폼이 유일하게 존재한다.

$\mathbb{Z}$ 는 주아이디얼정역이므로, $\left( \lambda_{ij} \right)$ 에 대해 $r$ 개의 대각성분 $d_{1} , \cdots , d_{r}$ 외의 성분이 모두 $0$ 인 스미스 노멀 폼이 존재한다.

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