📂위상데이터분석

토션 서브 그룹의 정의

정의 ¹

$G$ 가 아벨리안 그룹이라고 하자.

1. $g \in G$ 가 어떤 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $ng = 0$ 를 만족하면 $g$ 가 유한 오더^{finite Order}를 가진다고 말한다.
2. $G$ 에서 유한 오더를 가지는 모든 원소의 집합 $T \subset G$ 가 $G$ 의 서브그룹이면 $T$ 를 $G$ 의 토션 서브 그룹^{torsion Subgroup}이라 한다.
3. 만약 $G$ 의 토션 서브 그룹이 $T$ 가 사실상 없다^vanishe면, 다시 말해 $T = \left\{ 0 \right\}$ 이라면 $G$ 를 토션-프리^torsion-free라 한다.
4. 만약 $T$ 가 유한히 많은 원소로 이루어져 있다면, $T$ 의 기수 $\left| T \right|$ 를 $T$ 의 오더^order라 한다.

설명

토션?

토션^torsion은 ‘비틀림’이나 ‘꼬임’으로 번역되기도 하는 단어지만, 추상대수에서는 딱히 그런 직관을 주지 않으니 그냥 ‘토션’ 그 자체로 받아들이는 걸 추천한다. 필자 개인적으로는 한국어고 영어고를 떠나 $T$ 가 유한군이라는 점이 뭔가 전체 그룹 $G$ 을 뒤트는 느낌을 받긴 하지만, 억지로 독자를 이해시킬 필요는 없어 보인다.

토션 서브그룹

$$ G_{1} = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}^{5} $$

가령 위와 같은 그룹 $G_{1}$ 을 생각해보자. $_{1}G$ 는 무수히 많은 서브그룹을 가지지만, 그 중에서 $\mathbb{Z}_{6} \simeq \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3}$ 와 아이소멀픽한 서브그룹 $T_{1} \subset G_{1}$ 만이 토션 서브그룹이다. 정의에 따르면 그냥 아무 유한군이 아니라 유한 기수를 가진 모든 원소의 집합인 부분집합이어야 하기 때문이다.

토션-프리

또 다른 예로써 $G_{2} = \mathbb{Z}^{5}$ 를 생각해보면, 여기에 유한 오더를 가지는 원소가 $0$ 뿐일지라도 $1 \in \mathbb{N}$ 에 대해 $1 \cdot 0 = 0$ 이므로 토션서브그룹인 자명군^{trivial group} $\left\{ 0 \right\}$ 이 존재한다. 그래서 토션이 없는(토션-프리) 그룹이라 말하고 싶어도 함부로 ‘없다’고는 말 못하고 배니쉬^vanish라 돌려 말하는 것이다.