📂위상데이터분석

프리 그룹의 서브 그룹

정리

$F$ 가 프리 아벨리안 그룹이라 하자.

• [1]: $F$ 의 모든 서브그룹 $R$ 은 프리 그룹이다.
• [2]: 만약 $F$ 가 랭크 $n$ 이라면, $F$ 의 서브그룹 $R \subset F$ 은 랭크 $r \le n$ 인 프리 아벨리안 그룹이다.
• [3]: 그 뿐만 아니라, 다음 세 조건을 만족하는 $F$ 의 기저 $e_{1} , \cdots , e_{n}\in F$ 와 자연수 $t_{1} , \cdots , t_{k}$ 들이 존재한다.
  • (i): $k \le r$ 이고, 모든 $i$ 에 대해 $t_{i} > 1$ 이다.
  • (ii): $t_{1}e_{1} , \cdots , t_{k}e_{k} , e_{k+1} , \cdots , e_{r}$ 은 $R$ 의 기저다.
  • (iii): $t_{1} \mid t_{2} \mid \cdots \mid t_{k}$ 다. 즉, $t_{i}$ 는 $t_{i+1}$ 를 나눈다.

여기서 $e_{1}, \cdots, e_{n}$ 이 유일하다는 보장은 없지만, $t_{1} , \cdots , t_{k} > 1$ 들은 주어진 $F$ 와 $R$ 에 의해 유일하게 결정된다.

설명

정리에서 말하는 $t_{1} , \cdots , t_{k}$ 가 좀 복잡한데, 사실은 $k \le r$ 이나 $t_{i} > 1$ 같은 말을 덧붙일 필요 없이 그냥 $$ t_{1}e_{1} , \cdots , t_{r}e_{r} $$ 이 $R$ 의 기저고, $t_{1} , \cdots , t_{r} \in \mathbb{N}$ 이라 하면 더 깔끔하긴하다. 그러나 이 정리를 떠나 유한생성 아벨군의 기본정리처럼 대수위상과 관계된 정리에서 결국 $k \le r$ 을 구분하게 되기 때문에 이렇게 시작한다.

증명

[1], [2] ¹

프로젝션 맵을 정의해서 구체적으로 보인다. 자세한 증명은 생략하니 Munkres¹를 참고하라.

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[3] ²

정리 [1], [2]에 따라 랭크 $n$ 인 프리 아벨리안 그룹 $F$ 의 서브그룹 $R \subset F$ 은 프리 아벨리안 그룹이며, 랭크 $r \le n$ 이다. $R$ 이 $F$ 의 서브그룹이니 연산을 그대로 둔^inclusion 호모몰피즘 $f : R \to F$ 를 정의하고, $R$ 의 기저 $a_{1} , \cdots , a_{r}$ 과 $F$ 의 기저 $e_{1} , \cdots , e_{n}$ 을 고르자.

호모몰피즘의 스미스 노멀 폼: 프리 아벨리안 그룹 $G$, $G'$ 의 랭크가 각각 $n,m$ 이고 $f : G \to G'$ 가 호모몰피즘이라면, 다음과 같은 행렬을 가지는 호모몰피즘 $g$ 가 존재한다. $$ \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{Z}^{m \times n} $$ 여기서 $d_{1} , \cdots, d_{r} \in \mathbb{N}$ 이고 $d_{1} \mid \cdots \mid d_{r}$, 즉 $d_{k}$ 는 $d_{k+1}$ 의 약수^divisor여야한다.

$f$ 는 단사, 즉 모노몰피즘^monomorphism이므로 $f$ 의 행렬 $\left( \lambda_{ij} \right)$ 에는 제로 칼럼^{zero Column}이 존재할 수는 없다. 이 호모몰피즘 $f$ 에 대해 $d_{1} \mid \cdots \mid d_{r}$ 이고 $$ \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} $$ 을 행렬로 갖는 호모몰피즘 $g : R \to F$ 이 존재하며, 구체적으로 $i = 1 , \cdots , r$ 에 대해 $$ g \left( a_{i} \right) = d_{i} e_{i} $$ 이다. $g \left( a_{i} \right) = a_{i}$ 이므로, $b_{1} e_{1} , \cdots , b_{r} e_{r}$ 은 $R$ 의 기저다.

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