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심플리셜 호몰로지 그룹의 정의

빌드업

어려운 내용이지만 가능한 이해하기 쉽도록 생략 없이 모든 계산과 설명을 꼼꼼하게 남겼다. 호몰로지에 관심이 있다면 꼭 읽어보길 바란다.

실제로 우리가 관심을 가지는 위상공간 $X$ 이 있고, 이것이 특정한 심플리셜 컴플렉스에 따라 $\Delta$-컴플렉스 구조를 통해 표현된다고 하자. 작은 예로써 위 그림에선 우측의 토러스가 $X$ 고 좌측이 심플리셜 컴플렉스에 해당한다.

심플렉스의 정의:

1. 아핀독립인 $v_{0}, v_{1} , \cdots , v_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}$ 의 컨벡스 헐을 $n$-심플렉스^$n$-simplex $\Delta^{n}$ 라 하고, 벡터 $v_{k}$ 들을 꼭짓점^vertex이라 부른다. 수식적으로는 다음과 같다. $$\Delta^{n} := \left\{ \sum_{k} t_{k} v_{k} : v_{k} \in \mathbb{R}^{n+1} , t_{k} \ge 0 , \sum_{k} t_{k} = 1 \right\}$$
2. $\Delta^{n}$ 에서 하나의 꼭짓점이 제거되어서 만들어지는 $n-1$-심플렉스 $\Delta^{n-1}$ 들을 $\Delta^{n}$ 의 페이스^face라 한다. $\Delta^{n}$ 의 모든 페이스들의 합집합을 $\Delta^{n}$ 의 바운더리^boundary라 하고 $\partial \Delta^{n}$ 로 나타낸다.
3. 심플렉스의 내부 $\left( \Delta^{n} \right)^{\circ} := \Delta^{n} \setminus \partial \Delta^{n}$ 를 오픈 심플렉스^{open Simplex}라 부른다.

여기서 심플리셜 컴플렉스란 심플렉스들로 이루어진 컴플렉스로, 구체적으로는 다음과 같은 CW 컴플렉스로 구성되어 있다고 하자.

$n$-셀의 정의:

1. 다음과 같이 정의된 $D^{n} \subset \mathbb{R}^{n}$ 를 $n$-유닛 디스크^{unit Disk}라 한다. $$D^{n} := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} : \left\| \mathbf{x} \right\| \le 1 \right\}$$
2. $D^{n} \setminus \partial D^{n}$ 과 호메오멀픽한 개집합 $e^{n}$ 을 $n$-셀^cell이라고도 한다.

CW 컴플렉스의 정의:

1. 이산적인^discrete 집합 $X^{0} \ne \emptyset$ 을 $0$-셀^cell로 간주한다.
2. $n$-스켈레톤^skeleton $X^{n}$ 은 $X^{n-1}$ 에서 $n$-셀 $e_{\alpha}^{n}$ 을 $\phi_{\alpha} : S^{n-1} \to X^{n-1}$ 으로 붙임으로써 만들어낸다.
3. $X := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} X^{n}$ 이 약한 위상을 가지는 위상공간이 될 때, $X$ 를 셀 컴플렉스라 한다.

정의 ¹

$\Delta$-컴플렉스 구조를 가진 위상공간 $X$ 가 주어져 있다고 하자.

1. $X$ 의 오픈 $n$-심플렉스인 $n$-셀 $e_{\alpha}^{n}$ 들을 베이시스로 가지는 프리 아벨리안 그룹을 $\Delta_{n} (X)$ 라 나타내자. $\Delta_{n} (X)$ 의 원소를 $n$-체인^$n$-chain이라 부르며, 계수 $k_{\alpha} \in \mathbb{Z}$ 들에 대해서 다음과 같은 형식적 합^{formal Sum}으로 나타낸다. $$\sum_{\alpha} k_{\alpha} e_{\alpha}^{n}$$ 한편 CW 컴플렉스의 정의에서 보듯 이 각각의 $n$-셀 $e_{\alpha}^{n}$ 들에게는 그에 대응되는 캐릭터리스틱 맵^{charactoristic map} $\sigma_{\alpha} : \Delta^{n} \to X$ 가 존재하므로, 그냥 다음과 같이 나타내기도 한다. $$\sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha}$$
2. 다음과 같이 정의된 호모몰피즘 $\partial_{n} : \Delta_{n} (X) \to \Delta_{n-1} (X)$ 을 바운더리 호모몰피즘^{boundary Homomorphism}이라 한다. 여기서 $\sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} \cdots , v_{n} \right]$ 이라는 표현은 $\sigma_{\alpha}$ 의 $X$ 의 $n-1$-심플렉스에 대한 제한함수임을 의미한다. $$\partial _{n} \left( \sigma_{\alpha} \right) := \sum_{i=0}^{n} \left( -1 \right)^{i} \sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} \cdots , v_{n} \right]$$
3. 쿼션트 그룹 $\ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ 를 $H_{n}^{\Delta}$ 과 같이 나타내고, $H_{n}^{\Delta}$ 는 호몰로지 그룹이므로 $X$ 의 $n$번째 심플리셜 호몰로지 그룹^{simplicial Homology group}이라 부른다.

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• 그룹 $0$ 는 $\left\{ 0 \right\}$ 에서 정의된 마그마다. 즉, 텅 비어있는 대수구조다.
• 호모몰피즘 $\partial^{2} = 0$ 는 제로멀피즘이다.
• $\operatorname{Im}$ 는 이미지다.
• $\ker$ 는 커널이다.
• 집합에서 햇 표기 $\hat{v}_{i}$ 는 다음과 같이 $v_{i}$ 만 빼는 것을 의미한다. $$\left\{ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} \cdots , v_{n} \right\} := \left\{ v_{1} , \cdots , v_{n} \right\} \setminus \left\{ v_{i} \right\}$$

설명

정의에 글이 너무 많으니 이해 이전에 눈에 잘 들어오지 않는 게 정상이다. 피가 되고 살이 되는 설명이니 꼼꼼하게 읽도록 하자. 개인적으로 공부하면서 고생하고 헤맸던 부분들을 되도록 쉽게 풀어적으려고 노력했다.

$\Delta_{n} (X)$ 의 원소를 왜 체인이라 부르나?

$$\sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha}$$ 와 같은 노테이션에서 $\sigma_{\alpha} : \Delta^{n} \to X$ 을 생각함으로써 이제 $e_{\alpha}^{n}$ 이 $\Delta^{n}$ 의 원소인지 $X$ 의 원소인지 같은 것은 별로 고민할 필요가 없게 되었다. $n=2$ 이고 모든 계수가 $k_{\alpha} = 1$ 일 때 기하적으로 상상할 수 있는 예시로써 다음 그림의 우측과 같은 도형 $\sum_{i=1}^{7} \sigma_{i}$ 을 생각해보자.

여기서 사슬^chain이라는 표현이 이해가 됐으면 다행이고 아니어도 사실 별로 상관 없다. 어차피 뒤로 갔을 때 중요한건 그 원소들이 사슬 모양의 일반화가 되고 말고가 아니라 $n$-체인들의 모임인 $\Delta_{n} (X)$ 들로 체인 컴플렉스를 구성한다는 것이기 때문이다.

$\Delta_{n} (X)$ 이 그룹이긴 한가?

정말 중요한데, 정의에서 체인을 묘사할 때 우리는 형식적 합^{formal Sum}이라는 표현을 사용했다. 이는 어디까지나 $\Delta_{n} (X)$ 의 원소를 설명했을 뿐 정확히 $\Delta_{n} (X)$ 상에서 정의된 이항연산이 아니다. 형식적 합이란 단어 자체가 말하듯 이는 어디까지나 형식적인 것이다. 우리가 초등학교 시절 사용하던 노테이션을 빌려오자면,

2😀 + 💎 - 3🍌

와 같이 일단 그 위치를 그림 같은걸로 땜빵을 해놓은것이라 보아도 무방하다. 위 수식은 수학적으로 아무런 의미가 없는데, 도대체 웃는 표정 😀의 두배가 무엇이며 거기서 보석 💎을 더하는 것은 뭐고 바나나 🍌를 세개 뺀다는 게 뭔지 정의한 적도 없고 정의하기도 곤란하기 때문이다. 이들을 다루기 난처한 상황은 정확히 $\sum_{\alpha} k_{\alpha} e_{\alpha} \simeq \sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha}$ 에서

• (애초에 덧셈을 정의할 수 없는) 오픈 심플렉스 $e_{\alpha}^{n}$
• 에 대응되는 $\sigma_{\alpha}$ 가 함수인데다(함수 그 자체인지 함숫값을 말하는 건지 헷갈림)
• 그걸 임의의 정수배만큼 더하고 곱한 $-3 e_{1}^{n} + 7 e_{2}^{n} \simeq -3 \sigma_{1} + 7 \sigma_{2}$ 의 의미를 알 수 없는

어려움과 일맥상통한다. 대수적 구조는 고사하고 이 집합이 어떻게 생겼는지부터 난해해 보이는데, 다행스럽게도 이 고민들이 어찌되든 $\Delta_{n} (X)$ 의 입장에선 알 바가 아니다. 만약

$\sigma=$2😀 + 💎 - 3🍌

이 $\Delta_{n} (X)$ 의 원소, 그러니까 $n$-체인이라고 한다면 이들의 역원은 모든 계수 $k_{\alpha} \in \left( \mathbb{Z} , + \right)$ 들의 역원 $-k_{\alpha} \in \left( \mathbb{Z} , + \right)$ 들을 계수로 가지는

$-\sigma=$ (-2)😀 + (-1)💎 + (-(-3))🍌

로써 정의하면 충분하기 때문이다. 이는 $\Delta_{n} (X)$ 의 구체적인 생김새와 상관없이 그냥 순환군 $\mathbb{Z}$ 에서 자연스럽게 유도되는 것이다. 이에 따라 $\Delta_{n} (X)$ 의 항등원은 아무 $\sigma \in \Delta_{n} (X)$ 에 대해 $0 := \sigma + (-\sigma)$ 로 정의하면 그만이고, $\mathbb{Z}$ 가 아벨리안 그룹이므로 $\Delta_{n} (X)$ 역시 아벨리안 그룹이 된다. 여기서 그룹 $\left( \Delta_{n} (X) , + \right)$ 의 연산 $+$ 는 $\left( \mathbb{Z} , + \right)$ 의 $+$ 가 아니고 $e_{\alpha}^{n} \simeq \sigma_{\alpha}$ 들로 생성되는 프리 그룹인 $\Delta_{n} (X)$ 에서 새로이 정의되는 $+$ 로, $n$-체인인 $\sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha} \in \Delta_{n} (X)$ 에서 등장하는 $\sum$ 과도 또 다르다.

세 줄 요약하면 다음과 같다.

• 처음 정의할 때 $\sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha}$ 에서 덧셈같아보이는 것은 애초에 연산이 아니라 표기일 뿐이었다.
• $\left( \Delta_{n} (X) , + \right)$ 의 $+$ 는 $\left( \mathbb{Z} , + \right)$ 의 $+$ 에서 유도되었지만, 같은 것은 아니다.
• $\left( \Delta_{n} (X) , + \right)$ 은 프리 아벨리안 그룹이고, 이젠 $\sum_{\alpha} k_{\alpha} \sigma_{\alpha}$ 도 이항연산 $+$ 의 함숫값이다.

$\partial$ 을 왜 바운더리라 부르나?

$$\partial _{n} \left( \sigma_{\alpha} \right) := \sum_{i=0}^{n} \left( -1 \right)^{i} \sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} \cdots , v_{n} \right]$$

정의에 있는 수식만 보고는 이해하기 어렵지만 아래의 그림을 보면 단박에 이해할 수 있을 것이다.

가령 $\partial_{2}$ 를 생각해보면, 다음과 같은 계산을 해볼 수 있다. $$\begin{align*} & \partial _{2} \left[ v_{0} ,v_{1}, v_{2} \right] \\ =& \sum_{i=0}^{2} (-1)^{i} \left[ v_{0} ,v_{1}, v_{2} \right] \setminus \left[ v_{i} \right] \\ =& (-1)^{0} \left[ v_{1}, v_{2} \right] + (-1)^{1} \left[ v_{0}, v_{2} \right] + (-1)^{2} \left[ v_{0}, v_{1} \right] \\ =& \left[ v_{1}, v_{2} \right] - \left[ v_{0}, v_{2} \right] + \left[ v_{0}, v_{1} \right] \end{align*}$$

호몰로지 그룹을 공부하는 수준이라면 여기서 삼각형 $\left[ v_{0} ,v_{1}, v_{2} \right]$ 의 바운더리가 $\left[ v_{1}, v_{2} \right], \left[ v_{0}, v_{2} \right], \left[ v_{0} , v_{1} \right]$ 로 이루어지는 것 자체를 납득하지 못할 사람은 별로 없다. 진정으로 이해하기 어려운 것은 도대체 $\left[ v_{1}, v_{2} \right] - \left[ v_{0}, v_{2} \right]$ 이 무엇이냐 하는 것이다. $1$-심플렉스인 선분끼리 빼는 게 말이 되나? 그건 벡터라고 치고 $2$-심플렉스인 삼각형끼리의 연산은 또 뭔가?

다 틀렸다. 정신 똑바로 차리고 다시 보자. $\partial_{2} \left[ v_{0} ,v_{1}, v_{2} \right] \in \Delta_{1} (X)$ 는 그 기하학적인 의미를 떠나 그냥 세 개의 원소 $\left[ v_{1}, v_{2} \right], \left[ v_{0}, v_{2} \right], \left[ v_{0} , v_{1} \right]$ 의 형식적 합인 $$(+1) \left[ v_{1}, v_{2} \right] + (-1) \left[ v_{0}, v_{2} \right] + (+1) \left[ v_{0}, v_{1} \right]$$

일 뿐이다. 이걸 차례로 $$\begin{align*} a := \left[ v_{1}, v_{2} \right] \ b:= \left[ v_{0}, v_{2} \right] \ c:= \left[ v_{0} , v_{1} \right] \end{align*}$$ 라 두면 이제야 $\Delta_{1} (X)$ 의 정체가 좀 보인다. 가령 $1$-체인 $x \in \Delta_{1} (X)$ 은 어떤 계수 $k_{a} , k_{b} , k_{c} \in \mathbb{Z}$ 들에 대해 $$x = k_{a} a + k_{b} b + k_{c} c$$ 와 같이 나타나는 원소다. 반대로 $a,b,c$ 의 입장에서 프리 그룹 $\Delta_{1} (X) := F[\left\{ a,b,c \right\}]$ 를 구축하는 과정을 생각해보면 $\Delta_{1} (X)$ 란 세 개의 미지수로 만들어질 수 있는 그룹, 다시 말해 $\mathbb{Z}^{3} \simeq \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ 과 아이소멀픽한 그룹에 지나지 않는 것이다.

이러한 발상의 전환은 이어지는 예시를 이해함에 있어 필수적이다. 기하를 내려놓고 대수적으로 사고하자.

예시

$$\begin{align*} \\ \partial_{n} :& \Delta_{n} (X) \to \Delta_{n-1} (X) \\ H_{n}^{\Delta} (X) =& \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1} \end{align*}$$

여기서 특히 $n = 0$ 이면 $\partial_{0} : \Delta_{0} \left( X \right) \to 0$ 이므로 $\ker \partial_{0} = \Delta_{0} \left( X \right)$ 이다.

원 $S^{1}$

$1$-유닛 스피어, 다시 말해 원 $X = S^{1}$을 생각해보면 $0$-심플렉스는 버텍스 $v$ 하나, $1$-심플렉스는 에지 $e$ 하나, $n \ge 2$ 에서 $n$-심플렉스는 존재하지 않으므로 체인 컴플렉스 자체는 다음과 같이 구성될 것이다.

$$\cdots \longrightarrow 0 \longrightarrow \Delta_{1}\left( S^{1} \right) \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} \Delta_{0}\left( S^{1} \right) \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0$$

프리 그룹 $\Delta_{1}\left( S^{1} \right)$ 는 오직 $e$ 하나로 생성되므로 $\Delta_{1}\left( S^{1} \right) \simeq \mathbb{Z}$ 고, $\Delta_{0}\left( S^{1} \right)$ 역시 오직 $v$ 하나로 생성되므로 $\Delta_{0}\left( S^{1} \right) \simeq \mathbb{Z}$ 이다. 한편 $$\partial e = v - v = 0$$ 이므로 $\partial_{1}$ 은 제로멀피즘이다.

$n = 0$ 일 때는 $\ker \partial_{0} = \Delta_{0} \left( S^{1} \right)$ 이고 $\partial_{1}$ 이 제로멀피즘이므로 그 이미지는 $\left\{ 0 \right\}$ 이 되어 다음을 얻는다. $$\begin{align*} H_{0}^{\Delta} \left( S^{1} \right) =& \ker \partial_{0} / \operatorname{Im} \partial_{1} \\ \simeq& \Delta_{0} \left( S^{1} \right) / \left\{ 0 \right\} \\ \simeq& \mathbb{Z} \end{align*}$$

$n = 1$ 일 때는 $\partial_{2}$ 의 정의역이 $0$ 이므로 $\operatorname{Im} \partial_{2} = \left\{ 0 \right\}$ 이고 $\partial_{1}$ 이 제로멀피즘이므로 $\ker \partial_{1}$ 은 그 정의역인 $\Delta_{1} \left( S^{1} \right)$ 그 자체다. 이에 따라 다음을 얻는다. $$\begin{align*} H_{1}^{\Delta} \left( S^{1} \right) =& \ker \partial_{1} / \operatorname{Im} \partial_{2} \\ \simeq& \Delta_{1} \left( S^{1} \right) / \left\{ 0 \right\} \\ \simeq& \mathbb{Z} \end{align*}$$

$n \ge 2$ 에 대해선 볼 것도 없이 $H_{n}^{\Delta} \left( S_{1} \right) \simeq 0$ 이므로, 다음과 같이 요약할 수 있다. $$H_{n}^{\Delta} \left( S_{1} \right) \simeq \begin{cases} \mathbb{Z} & , \text{if } n = 0, 1 \\ 0 & , \text{if } n \ge 2 \end{cases}$$

토러스 $T^{2}$

위 그림과 같은 토러스 $T^{2}$를 생각해보면 $0$-심플렉스는 버텍스 $v$ 하나, $1$-심플렉스는 에지 $a$, $b$, $c$ 셋, $2$-심플렉스는 $U$, $L$ 둘, $n \ge 3$ 에서 $n$-심플렉스는 존재하지 않으므로 체인 컴플렉스 자체는 다음과 같이 구성될 것이다.

$$\cdots \longrightarrow 0 \longrightarrow \Delta_{2}\left( T \right) \overset{\partial_{2}}{\longrightarrow} \Delta_{1}\left( T \right) \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} \Delta_{0}\left( T \right) \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0$$

이에 따라 프리 그룹 $\Delta_{n} \left( T \right)$ 은 $$\Delta_{n} \left( T \right) \simeq \begin{cases} \mathbb{Z}^{1} & , \text{if } n = 0 \\ \mathbb{Z}^{3} & , \text{if } n = 1 \\ \mathbb{Z}^{2} & , \text{if } n = 2 \\ 0 & , \text{if } n \ge 3 \end{cases}$$

이다. 한편 에지 $a$, $b$, $c$ 의 양 끝점은 $v$ 로 이어져 있으므로 $$\begin{align*} \partial a =& v - v = 0 \\ \partial b =& v - v = 0 \\ \partial c =& v - v = 0 \end{align*}$$ 이고, 원에서와 마찬가지로 $\partial_{1}$ 은 제로멀피즘이다.

$n = 0$ 일 때는 원에서와 마찬가지로 다음이 성립한다. $$\begin{align*} H_{0}^{\Delta} \left( T \right) =& \ker \partial_{0} / \operatorname{Im} \partial_{1} \\ \simeq& \Delta_{0} \left( T \right) / \left\{ 0 \right\} \\ \simeq& \mathbb{Z} \end{align*}$$

$n = 1$ 일 때는 $\partial_{1}$ 이 제로멀피즘이므로 $\ker \partial_{1}$ 은 그 정의역인 $\Delta_{1} \left( T \right)$ 그 자체다. 한편 $\partial_{2} : \Delta_{2}\left( T \right) \to \Delta_{1}\left( T \right)$ 에 대해 $$\partial_{2} U = a + b - c = \partial_{2} L$$ 이고 $\left\{ a, b, a + b - c \right\}$ 는 $\Delta_{1}\left( T \right)$ 의 베이시스^basis이므로 $H_{1}^{\Delta}$ 는 $a$ 와 $b$ 로 생성되는 프리 그룹과 아이소멀픽하다. 다시 말해, 다음이 성립한다. $$H_{1}^{\Delta} \left( T \right) \simeq \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$$

$n = 2$ 일 때는 $\partial_{3}$ 의 정의역이 $0$ 이므로 $\operatorname{Im} \partial_{3} = \left\{ 0 \right\}$ 이고 $\partial_{2} : \Delta_{2}\left( T \right) \to \Delta_{1}\left( T \right)$ 에서 $\Delta_{2}\left( T \right) \simeq \mathbb{Z}^{2}$ 고 $\Delta_{1}\left( T \right) \simeq \mathbb{Z}^{3}$ 이므로 $\ker \partial_{2} \simeq \mathbb{Z}^{3-2}$ 다. 이를 정리하면 다음을 얻는다. $$\begin{align*} H_{2}^{\Delta} \left( T \right) =& \ker \partial_{2} / \operatorname{Im} \partial_{3} \\ \simeq& \mathbb{Z}^{3-2} / \left\{ 0 \right\} \\ \simeq& \mathbb{Z} \end{align*}$$

$n \ge 3$ 에 대해선 볼 것도 없이 $H_{n}^{\Delta} \left( T \right) \simeq 0$ 이므로, 다음과 같이 요약할 수 있다. $$H_{n}^{\Delta} \left( T \right) \simeq \begin{cases} \mathbb{Z} & , \text{if } n = 0 \\ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} & , \text{if } n = 1 \\ \mathbb{Z} & , \text{if } n = 2 \\ 0 & , \text{if } n \ge 3 \end{cases}$$

정리

$H_{n}^{\Delta}$ 는 호몰로지 그룹이다

호몰로지 그룹의 정의:

1. $n \in \mathbb{N}_{0}$ 이라 하자. 아벨리안 그룹 $C_{n}$ 와 호모몰피즘 $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ 의 체인 $$\cdots \longrightarrow C_{n+1} \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} C_{n} \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} C_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow C_{1} \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0$$ 이 모든 $n$ 에 대해 $$\partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0$$ 를 만족하면 $\mathcal{C} := \left\{ \left( C_{n}, \partial_{n} \right) \right\}_{n=0}^{\infty}$ 을 체인 컴플렉스^{chain Complex}라 한다.
2. 쿼션트 그룹 $H_{n} := \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ 을 $\mathcal{C}$ 의 $n$번째 호몰로지 그룹^{$n$-th Homology group}이라 한다.
3. 호모몰피즘 $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ 를 바운더리^boundary 혹은 미분^differential 오퍼레이터라 부른다.

$$\cdots \longrightarrow \Delta_{n+1} \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} \Delta_{n} \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} \Delta_{n-1} \longrightarrow \cdots$$

체인 컴플렉스 $\left\{ \left( \Delta_{n} (X) , \partial_{n} \right) \right\}_{n=0}^{\infty}$ 에 대해 $H_{n}^{\Delta} := \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ 는 호몰로지 그룹이다. 다시 말해, 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\partial_{n} \circ \partial_{n+1}$ 은 제로멀피즘이다.

증명

$\sigma \in \Delta_{n}$ 에 $\partial_{n-1} \circ \partial_{n}$ 를 취해보면 다음을 얻는다. $$\begin{align*} & \left( \partial_{n-1} \circ \partial_{n} \right) \left( \sigma \right) \\ =& \partial_{n-1} \left( \partial_{n} \left( \sigma \right) \right) \\ =& \partial_{n-1} \left( \sum_{i=0}^{n} \left( -1 \right)^{i} \sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} , \cdots , v_{n} \right] \right) \\ =& \sum_{j < i} \left( -1 \right)^{i} \left( -1 \right)^{j} \sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} , \cdots , \hat{v}_{j} , \cdots , v_{n} \right] \\ & + \left( -1 \right) \sum_{j >i} \left( -1 \right)^{i} \left( -1 \right)^{j} \sigma_{\alpha} | \left[ v_{1} , \cdots , \hat{v}_{i} , \cdots , \hat{v}_{j} , \cdots , v_{n} \right] \\ =& 0 \end{align*}$$

사실 이런 증명은 이렇게 일반적으로 증명하는 것보다 귀납적인 예시를 보여주는 게 더 도움이 된다. $$\begin{align*} & \partial_{1} \left( \partial_{2} \left[ v_{0}, v_{1} , v_{2} \right] \right) \\ =& \partial_{1} \left( \left[ v_{1} , v_{2} \right] - \left[ v_{0}, v_{2} \right] + \left[ v_{0}, v_{1} \right] \right) \\ =& \partial_{1} \left[ v_{1} , v_{2} \right] - \partial_{1} \left[ v_{0}, v_{2} \right] + \partial_{1} \left[ v_{0}, v_{1} \right] \\ =& \left[ v_{2} \right] - \left[ v_{1} \right] - \left( \left[ v_{2} \right] - \left[ v_{0} \right] \right) + \left[ v_{1} \right] - \left[ v_{0} \right] \\ =& 0 \end{align*}$$

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