📂위상데이터분석

심플리셜 컴플렉스의 정의

정의

어려운 정의 ¹

$$\Delta^{k} \in K$$

유한히 많은 심플렉스들의 집합 $K$ 가 다음 두 조건을 만족하는 컴플렉스면 심플리셜 컴플렉스^{simplicial Complex}라 한다.

• (i): 만약 $\sigma \in K$ 이고 $\tau$ 가 $\sigma$ 의 페이스라면, $\tau \in K$ 다. $$\sigma \in K \land \tau \le \sigma \implies \tau \in K$$
• (ii): 만약 $\sigma_{1}, \sigma_{2} \in K$ 라면, $\sigma_{1} \cap \sigma_{2}$ 는 공집합이거나 $\sigma_{1}$ 와 $\sigma_{2}$ 의 페이스다. $$\sigma_{1} , \sigma_{2} \in K \implies \left( \sigma_{1} \cap \sigma_{2} = \empty \right) \lor \left( \sigma_{1} \cap \sigma_{2} \le \sigma_{1} \land \sigma_{1} \cap \sigma_{2} \le \sigma_{2} \right)$$

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• $\land$ 는 논리적으로 ‘그리고’를 나타내는 논리곱 기호다.
• $\lor$ 는 논리적으로 ‘또는’를 나타내는 논리합 기호다.
• 심플렉스 $x$ 의 페이스란 $x$ 에서 한 점을 빼고 만들어지는 심플렉스를 말한다.
• 심플렉스 $\tau$, $\sigma$ 에 대해 $\tau \le \sigma$ 라는 것은 $\tau$ 가 $\sigma$ 의 페이스^face라는 것이다.

쉬운 정의

심플렉스들을 이어붙인 집합이면서, 모든 이어진 부분이 심플렉스인 컴플렉스를 심플리셜 컴플렉스라고 한다.

설명

심플렉스는 그 자체로도 의미와 쓰임새가 있지만 그 컴플렉스인 심플리셜 컴플렉스를 구성함으로써 기하적인 특성을 갖는 거의 모든 추상적 객체의 근사^{approximation}를 얻을 수 있다². 가령 다음은 돌고래 형상의 트라이앵귤이션^{triangulation}, 다시 말해 최대 $2$-심플렉스(삼각형)들을 모아 만든 심플리셜 컴플렉스다.

쉬운 정의에 따르면 집합을 이어붙여놨다는 말이 상당히 애매한데, 꽤 많은 문헌과 강연에서 이렇게 얼렁뚱땅 정의를 소개하고 넘어가곤 한다. 이는 심플리셜 컴플렉스의 실용적, 응용적인 부분을 설명함에 있어서 그 정의를 정확하게 따지는 것보다 그림 하나를 보여주는 게 이해도 잘 되고 설명도 편하기 때문이다.

물론 혼자 책 펴서 공부할 땐 어려운 정의로 정확히 알아야한다. 심플리셜 컴플렉스 $K$ 는 애초에 $k$ 개의 아핀독립인 점들의 컨벡스 헐인 심플렉스 $\Delta^{k}$ 의 집합, 다시 말해 집합의 집합인 패밀리고 따라서 $\sigma_{1} \cap \sigma_{2}$ 과 같은 교집합을 생각할 수 있는 것이다.

폴리곤

정의에 따르면 폴리곤은 심플리셜 컴플렉스처럼 보이지만 사각형 등이 포함되어 있어 심플리셜 컴플렉스가 아니다.

같이보기

심플렉셜 컴플렉스는 집합 $K$ 가 주어진 조건을 모두 만족하면야 심플렉셜 컴플렉스고, 구체적으로 유일하게 어떻게 생겨야 한다고는 하지 않았다. 심플렉스를 정하는 방법에 따라 수도 없이 많은 컴플렉스를 생각해볼 수 있고, 같은 점(데이터)들을 가지고 있더라도 이들의 실전적인^practical 특성에 따라 심플렉셜 컴플렉스도 천차만별이다.