수학에서 토러스란?
정의
위와 같은 사상map에 따라 $1$-스피어의 제곱인 사각형 $S^{1} \times S^{1} = [0,1] \times [0,1]$ 과 위상동형인 몫공간 $T$ 를 토러스torus라 한다. 그림 상으로는 가장 오른쪽에 있는 도넛 모양이 토러스의 한 예다.
설명
토러스는 수학 전반에서 무척 귀중하게 다뤄지는 공간―조금 더 구체적으로는 도형이다. 대중에게 널리 알려진 위상수학의 이미지(도넛은 커피잔과 위상동형이고 블라블라)에서 빠지지 않고 등장한다.
푸앵카레 추측
푸앵카레 추측은 프랑스의 위대한 수학자 푸앵카레Poincaré에 의해 제기된 후 그리고리 페렐만Григо́рий Перельма́н에 의해 증명되었다.
푸앵카레 추측: 어떤 닫힌 $3$차원 곡면 공간 상에 있는 모든 폐곡선이 하나의 점으로 수축될 수 있다면, 그 공간은 구로 변형될 수 있다.
토러스가 꼭 이 추측에서 중요한 건 아니지만, 비전공자도 단박에 이해할 수 있을만큼의 간단한 예시가 바로 이 토러스다. 가령 위의 그림처럼 토러스의 면에 빨간 실로 고리를 둘렀다고 친다면, 이걸 한 점으로 수축시키는 것은 가운데 뚫린 도넛 홀 때문에 불가능하다. 푸앵카레 추측은 거꾸로 이렇게 폐곡선을 항상 한 점으로 수축시킬 수 있을 때 그것이 도넛 홀이 없는 구임을 보장할 수 있는지를 묻는 것이다.
대수위상
사실 토러스를 만드는 데 있어서는 심플렉스의 컴플렉스, 즉 심플리셜 컴플렉스까지는 필요없고 그냥 사각형 $S^{1} \times S^{1}$ 으로 충분하지만, $\Delta$-컴플렉스 구조를 갖추고 이에 대한 의미있는 대수적 탐구를 위해서는 이후 설명할 $6$ 개의 사상map이 필요하다.
토러스를 위에서 바라본 투영도다. $\sigma_{a}$, $\sigma_{b}$, $\sigma_{v}$ 는 토러스를 만드는 나이브한 방법에서 일종의 ‘뼈대’ 역할을 하는 사상들이 된다. $\sigma_{b}$ 는 사각형을 말아서 원통으로 만들고, $\sigma_{a}$ 는 그 원통의 양 끝을 이어붙여서 도넛을 만든다. 이 때 사각형의 꼭짓점은 정확히 한 지점으로 모여야하는데, $\sigma_{v}$ 가 그 역할을 한다.
토러스를 옆에서 바라본 투영도다. $\sigma_{U}$, $\sigma_{L}$ 는 뼈대 사이를 채우는 ‘면’이라고 할 수 있는 부분을 매핑해주고 있다. 거듭 강조하지만 $\sigma_{c}$ 는 토러스만을 생각했을 때 반드시 필요하지 않고 사각형을 두 삼각형의 합집합으로 보았을 때 그 경계를 담당하는 사상이 된다.
주기경계조건
토러스는 단위 정사각형 $[0,1] \times [0,1]$ 에 주기경계조건periodic Boundary condition을 준 것으로 볼 수도 있다. 다음 그림에서 골퍼의 공은 언뜻 $S^{1} \times S^{1}$ 의 경계를 넘어서 이탈해버리는 것으로 보이지만, 이것이 토러스 위에서의 샷이었다면 등 뒤쪽으로 공이 떨어지고 말 일인 것이다.
당연히 이는 그림에서처럼 좌우에만 일어나는 게 아니라 상하의 주기경계 $b$ 에서도 일어난다. 사각형을 토러스로 생각한다는 것은 이렇듯 “경계가 주기성을 가져서 한 쪽 면의 끝에 도달하면 반대쪽 끝에서 등장한다"는 말을 간결하게 표현해주는 것이다.
무한평면
주기경계조건이랑 똑같은 말이지만 이 공간을 어떻게 바라보느냐에 따라 새로운 응용의 길이 열릴 수 있다. 가령 몇 가지 생물에 대한 생태계를 연구함에 있어서 이들이 위치한 지형을 무시하고, 이들 사이의 상호작용들이 전체 공간의 어디서나 균등하게 일어난다고 가정해보자.
토러스의 전개도인 사각형을 경계에 맞춰서 위 그림처럼 배치한다고 생각해보면, 하나의 토러스는 곧 무한한 평면의 일부를 대표하는 것이나 마찬가지다. 만약 시뮬레이션을 한다면, 한 토러스 위에서의 시뮬레이션은 곧 일반성을 잃지 않고 무한한 평면에서의 시뮬레이션으로 볼 수 있는 것이다.
성질
좌표조각사상
중심에서 튜브까지의 거리가 $R$이고, 튜브의 지름이 $r$인 3차원상의 토러스의 좌표조각사상은 다음과 같다. $(u_{1}, u_{2}) \in [0, 2\pi) \times [0, 2\pi)$에 대해서,
$$ \mathbf{x}(u_{1}, u_{2}) = \left( (R + r\cos u_{2})\cos u_{1}, (R + r\cos u_{2})\sin u_{1}, r\sin u_{1} \right) $$
단순 연결성
토러스 $T^{2}$는 단순 연결이 아니다.