📂위상데이터분석

위상수학에서 디스크와 스피어

정의 ¹

유클리드 공간 $\left( \mathbb{R}^{n} , \left\| \cdot \right\| \right)$ 에서 다음과 같은 도형들을 정의한다.

1. 다음과 같이 정의된 $D^{n} \subset \mathbb{R}^{n}$ 를 $n$-유닛 디스크^{unit Disk}라 한다. $$ D^{n} := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} : \left\| \mathbf{x} \right\| \le 1 \right\} $$
2. 다음과 같이 정의된 $S^{n} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 를 $n$-유닛 스피어^{unit Sphere}라 한다. $$ S^{n} := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n+1} : \left\| \mathbf{x} \right\| = 1 \right\} $$
3. $D^{n} \setminus \partial D^{n}$ 과 호메오멀픽한 개집합 $e^{n}$ 을 $n$-셀^cell이라고도 한다.

성질

$n$-디스크의 바운더리는 $n$-스피어다. 다시 말해, 다음이 성립한다. $$ \partial D^{n} = S^{n-1} $$

설명

디스크와 스피어는 $n=2$ 일 때 기준으로 봐야 이해하기가 편하다. 표현 상으로 $2$-디스크는 우리가 일상에서 접하는 디스크, 내부가 꽉 찬 원반 모양이 되고 $2$-스피어는 그보다 한 단계 높은 $2+1$차원에서 볼륨을 가지지 않고 면적을 가지는 구 그 자체만을 나타낸다.

정의에서 $D^{3}$ 가 그러하듯, $D^{1}$ 은 디스크처럼 생기지는 않았지만 엄연히 디스크다. 한편 셀이라는 것은 보다시피 위상동형을 통해서 정의되기 때문에 딱히 디스크와 스피어처럼 집합으로 정확하게 정의될 필요가 없다.

이는 셀이 모양과 크기, 위치 등에 자유롭다는 의미로 받아들여도 무방하고, 이렇게 셀을 생각함으로써 대중들에게 널리 알려진 위상수학의 모습이 드러나게 된다.

$n=0$ 일 때

$n = 0$ 일 때는 $D^{0} = \left\{ 0 \right\}$ 이고 $e^{n}$ 은 그에 호메오멀픽한 단 하나의 점으로 이루어져있지만, $S^{0}$ 은 곧 $\partial D^{1}$ 이므로 두 개의 점을 갖는다.

같이보기

일반적인 구의 정의

일반적인 구는 내적을 통해서 더 수학답게 정의할 수 있으며, 사실 일립소이드까지는 얼마든지 쉽게 일반화할 수 있다. 그러나 디스크와 스피어가 가장 많이 언급되는 것은 위상수학으로, 구체적인 좌표나 기하적인 성질이 딱히 필요 없다.