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수직축 정리 📂고전역학

수직축 정리

수직축 정리

임의의 평면에 수직한 회전축에 대한 관성모멘트그 수직축을 지나면서 평면판 위에 있는 서로 수직한 임의의 두 축에 대한 관성모멘트의 합과 같다.

Iz=Ix+Iy \color{red}{I_{z}}=\color{blue}{I_{x}+I_{y}}

증명

3.jpg

Iz=imiri2 I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i}{r_{i}}^{2}

피타고라스의 정리에 의해서 ri2=xi2+yi2{r_{i}}^{2}={x_{i}}^{2}+{y_{i}}^{2}이므로 이를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

Iz=imi(xi2+yi2)=imixi2+imiyi2 I_{z}=\sum\limits_{i} m_{i}({x_{i}}^{2}+{y_{i}}^{2})=\sum\limits_{i} m_{i}{x_{i}}^{2}+\sum\limits_{i} m_{i}{y_{i}}^{2}

xxyy-축으로부터의 거리이고, yyxx-축으로부터의 거리이므로 다음과 같다.

imixi2=Iy,imiyi2=Ix \sum\limits_{i} m_{i}{x_{i}}^{2}=I_{y}, \quad \sum\limits_{i} m_{i}{y_{i}}^{2}=I_{x}

그러므로

Iz=Ix+Iy I_{z}=I_{x}+I_{y}

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