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감마분포의 충분통계량 📂확률분포론

감마분포의 충분통계량

정리

감마분포를 따르는 랜덤샘플 X:=(X1,⋯ ,Xn)∼Γ(k,θ)\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \Gamma \left( k, \theta \right) 이 주어져 있다고 하자.

(k,θ)\left( k, \theta \right) 에 대한 충분통계량 TT 는 다음과 같다. T=(∏iXi,∑iXi) T = \left( \prod_{i} X_{i}, \sum_{i} X_{i} \right)

증명

f(x;k,θ)=∏k=1nf(xk;k,θ)=∏i=1n1Γ(k)θkxik−1e−xi/θ=(1Γ(k)θk)n(∏i=1nxi)k−1e−∑ixi/θ=k(1Γ(k)θk)n(∏i=1nxi)k−1⋅e−∑ixi/θ=θ1θnkexp⁡(−∑ixi/θ)⋅(1Γ(k))n(∏i=1nxi)k−1 \begin{align*} f \left( \mathbf{x} ; k, \theta \right) =& \prod_{k=1}^{n} f \left( x_{k} ; k, \theta \right) \\ =& \prod_{i=1}^{n} {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x_{i}^{k - 1} e^{ - x_{i} / \theta} \\ =& \left( {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} \right)^{n} \left( \prod_{i=1}^{n} x_{i} \right) ^{k - 1} e^{ - \sum_{i} x_{i} / \theta} \\ \overset{k}{=}& \left( {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} \right)^{n} \left( \prod_{i=1}^{n} x_{i} \right) ^{k - 1} \cdot e^{ - \sum_{i} x_{i} / \theta} \\ \overset{\theta}{=}& {{ 1 } \over { \theta^{nk} }} \exp \left( - \sum_{i} x_{i} / \theta \right) \cdot \left( {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) }} \right)^{n} \left( \prod_{i=1}^{n} x_{i} \right) ^{k - 1} \end{align*}

네이만 인수분해 정리에 따라 T:=(∏iXi,∑iXi)T := \left( \prod_{i} X_{i}, \sum_{i} X_{i} \right) 는 (k,θ)\left( k, \theta \right) 에 대한 충분통계량이다.

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