📂확률분포론

기하분포의 충분통계량과 최대우도추정량

정리

기하분포를 따르는 랜덤샘플 $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \text{Geo} \left( p \right)$ 이 주어져 있다고 하자. $p$ 에 대한 충분통계량 $T$ 와 최대우도추정량 $\hat{p}$ 는 다음과 같다. $$\begin{align*} T =& \sum_{k=1}^{n} X_{k} \\ \hat{p} =& {{ n } \over { \sum_{k=1}^{n} X_{k} }} \end{align*}$$

증명

충분통계량

$$\begin{align*} f \left( \mathbf{x} ; p \right) =& \prod_{k=1}^{n} f \left( x_{k} ; p \right) \\ =& \prod_{k=1}^{n} p \left( 1 - p \right)^{x_{k} - 1} \\ =& p^{n} \left( 1 - p \right)^{\sum_{k} x_{k} - n} \\ =& p^{n} \left( 1 - p \right)^{\sum_{k} x_{k} - n} \cdot 1 \end{align*}$$

네이만 인수분해 정리: 랜덤 샘플 $X_{1} , \cdots , X_{n}$ 이 모수 $\theta \in \Theta$ 에 대해 같은 확률질량/밀도함수 $f \left( x ; \theta \right)$ 를 가진다고 하자. 통계량 $Y = u_{1} \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right)$ 이 $\theta$ 의 충분통계량인 것은 다음을 만족하는 음이 아닌 두 함수 $k_{1} , k_{2} \ge 0$ 이 존재하는 것이다. $$f \left( x_{1} ; \theta \right) \cdots f \left( x_{n} ; \theta \right) = k_{1} \left[ u_{1} \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) ; \theta \right] k_{2} \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right)$$ 단, $k_{2}$ 는 $\theta$ 에 종속되지 않아야한다.

네이만 인수분해 정리에 따라 $T := \sum_{k} X_{k}$ 는 $p$ 에 대한 충분통계량이다.

최대우도추정량

$$\begin{align*} \log L \left( p ; \mathbf{x} \right) =& \log f \left( \mathbf{x} ; p \right) \\ =& \log p^{n} \left( 1 - p \right)^{\sum_{k} x_{k} - n} \\ =& n \log p + \sum_{k=1}^{n} x_{k} \log \left( 1 - p \right) \end{align*}$$

랜덤샘플의 로그우도함수는 위와 같고, 우도함수가 최대값이 되려면 $p$ 에 대한 편미분이 $0$ 이 되는 것이므로 $$\begin{align*} & 0 = n {{ 1 } \over { p }} - {{ 1 } \over { 1 - p }} \left( \sum_{k=1}^{n} x_{k} - n \right) \\ \implies & {{ n } \over { p }} + {{ n } \over { 1 - p }} = {{ 1 } \over { 1 - p }} \sum_{k=1}^{n} x_{k} \\ \implies & {{ n } \over { p(1-p) }} = {{ 1 } \over { 1 - p }} \sum_{k=1}^{n} x_{k} \\ \implies & {{ 1 } \over { p }} = {{ 1 } \over { n }} \sum_{k=1}^{n} x_{k} \end{align*}$$

따라서 $p$ 의 최대우도추정량 $\hat{p}$ 는 다음과 같다. $$\hat{p} = {{ n } \over { \sum_{k=1}^{n} X_{k} }}$$

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