대각행렬곱을 통한 행렬의 행별, 열별 스칼라곱
📂행렬대수 대각행렬곱을 통한 행렬의 행별, 열별 스칼라곱 정리 대각행렬 D : = diag ( d 1 , ⋯ , d n ) D := \text{diag} \left( d_{1} , \cdots , d_{n} \right) D := diag ( d 1 , ⋯ , d n ) 행렬 A : = ( a i j ) ∈ C n × n A := \left( a_{ij} \right) \in \mathbb{C}^{n \times n} A := ( a ij ) ∈ C n × n D A = [ d 1 a 11 d 1 a 12 ⋯ d 1 a 1 n d 2 a 21 d 2 a 22 ⋯ d 2 a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ d n a n 1 d n a n 2 ⋯ d n a n n ] A D = [ d 1 a 11 d 2 a 12 ⋯ d n a 1 n d 1 a 21 d 2 a 22 ⋯ d n a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ d 1 a n 1 d 2 a n 2 ⋯ d n a n n ]
\begin{align*}
D A =& \begin{bmatrix}
d_{1} a_{11} & d_{1} a_{12} & \cdots & d_{1} a_{1n}
\\ d_{2} a_{21} & d_{2} a_{22} & \cdots & d_{2} a_{2n}
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ d_{n} a_{n1} & d_{n} a_{n2} & \cdots & d_{n} a_{nn}
\end{bmatrix}
\\ A D =& \begin{bmatrix}
d_{1} a_{11} & d_{2} a_{12} & \cdots & d_{n} a_{1n}
\\ d_{1} a_{21} & d_{2} a_{22} & \cdots & d_{n} a_{2n}
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ d_{1} a_{n1} & d_{2} a_{n2} & \cdots & d_{n} a_{nn}
\end{bmatrix}
\end{align*}
D A = A D = d 1 a 11 d 2 a 21 ⋮ d n a n 1 d 1 a 12 d 2 a 22 ⋮ d n a n 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ d 1 a 1 n d 2 a 2 n ⋮ d n a nn d 1 a 11 d 1 a 21 ⋮ d 1 a n 1 d 2 a 12 d 2 a 22 ⋮ d 2 a n 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ d n a 1 n d n a 2 n ⋮ d n a nn 대각행렬 D D D
증명 이런 종류의 증명은 일반적으로 하는 게 오히려 독이다. 3 3 3
[ x 0 0 0 y 0 0 0 z ] [ a b c d e f g h i ] = [ x a x b x c y d y e y f z g z h z i ]
\begin{bmatrix}
x & 0 & 0
\\ 0 & y & 0
\\ 0 & 0 & z
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & b & c
\\ d & e & f
\\ g & h & i
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
xa & xb & xc
\\ yd & ye & yf
\\ zg & zh & zi
\end{bmatrix}
x 0 0 0 y 0 0 0 z a d g b e h c f i = x a y d z g x b ye z h x c y f z i
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