호몰로지 그룹의 정의
정의 1 2
- $n \in \mathbb{N}_{0}$ 이라 하자. 아벨리안 그룹 $C_{n}$ 와 호모몰피즘 $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ 의 체인 $$ \cdots \longrightarrow C_{n+1} \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} C_{n} \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} C_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow C_{1} \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0 $$ 이 모든 $n$ 에 대해 $$ \partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0 $$ 를 만족하면 $\mathcal{C} := \left\{ \left( C_{n}, \partial_{n} \right) \right\}_{n=0}^{\infty}$ 을 체인 컴플렉스chain Complex라 한다.
- 쿼션트 그룹 $H_{n} := \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ 을 $\mathcal{C}$ 의 $n$번째 호몰로지 그룹$n$-th Homology group이라 한다.
- 호모몰피즘 $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ 를 바운더리boundary 혹은 미분differential 오퍼레이터라 부른다.
- $Z_{n} := \ker \partial_{n}$ 의 원소를 $n$-사이클cycles, $B_{n} := \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ 의 원소를 $n$-바운더리boundary라 부른다.
- 그룹 $0$ 는 $\left\{ 0 \right\}$ 에서 정의된 마그마다. 즉, 텅 비어있는 대수구조다.
- 호모몰피즘 $\partial^{2} = 0$ 는 제로멀피즘이다.
- $\operatorname{Im}$ 는 이미지다.
- $\ker$ 는 커널이다.
설명
난해하다고 느끼는 게 정상이다. 가뜩이나 소개된 정의는 아주 깔끔하게 대수적인 스테이트먼트만 포함하고 있기 때문에 직관적으로 이해하기 위해서는 빠르게 심플리셜 호몰로지로 넘어가는 걸 추천한다.(사실 그것도 별로 쉽진 않다) 처음보는 입장에서는 바운더리와 미분이라는 표현도 대수적인 표현만으로는 받아들이기 어렵고, 기하적으로 바라봐야 그나마 느낌이 올까말까 할 수 있다.
일반화 가능성
사실 체인 컴플렉스에서 인덱스 집합은 꼭 $\mathbb{N}_{0} = \left\{ 0, 1, 2, \cdots \right\}$ 이 아니라 음수로의 확장은 물론 실수에 대해서도 일반화할 수 있는 것으로 알려져있으나, $0$ 을 기점으로 음수로 가면 위상적이거나 기하적인 의미는 크게 퇴색된다.
호몰로지 그룹의 존재성
$U, V, W$가 벡터공간, $T_{1} : U \to V$, $T_{2} : V \to W$가 선형변환이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$$ T_{2}T_{1} = 0 \iff \operatorname{Im} (T_{1}) \subset \ker (T_{2}) $$
체인 컴플레스의 조건인 $\partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0$ 는 흔히 $\partial^{2} = 0$ 와 같이 줄여쓰곤 한다. $\operatorname{Im} \partial_{n+1}$ 가 무엇이 되었든 $\partial_{n}$ 를 취하고 나면 $0$ 으로 간다는 것은 그만큼 $\ker \partial_{n}$ 이 넉넉하게 잡혀서 $\operatorname{Im} \partial_{n+1}$ 를 완전히 포용할 수 있다는 의미, 다시 말해 $\operatorname{Im} \partial_{n+1} \subset \ker \partial_{n}$ 이라는 것이다.
$\partial^{2} = 0$ 에서 $\ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ 이 나오는 게 뜬금없어 보이겠지만 역사적으로 보았을 땐 원래 $\ker f / \operatorname{Im} g$ 와 같이 커널을 이미지로 쪼갠 대수구조에 연구할 것이 많았고, $\partial^{2} = 0$ 는 그 자체의 직관적인 의미보다는 깔끔한 표현 때문에 정의에 포함되었다고 보는 게 맞다.
바운더리와 미분
$n$-사이클 $Z_{n}$ 의 $Z$ 는 독일어 ‘Zyklus’에서 나왔다.
$\partial_{n}$ 은 그 표기처럼 심플렉스의 바운더리로 보게 될 때 그 명명이 자연스럽고, 미분이라 부르는 것 역시 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 에서 $$ \lim_{h \to 0} {{ f(x + h) - f(x) } \over { h }} $$ 이라 하는 것처럼, 차분difference을 $$ \partial \left[ v_{0} , v_{1} \right] = \left[ v_{1} \right] - \left[ v_{0} \right] $$ 와 같이 정의하면 그 수식적인 모양에서 자연스러운 명명임을 납득 할 수도 있다. 다만 호몰로지 그룹의 담백한 정의만을 보고서는 이해할 수 없는 것이 당연하다. 위의 설명들은 구체적인 $\partial_{n}$ 의 정의가 주어진 다음에야, 그리고 그것의 보편적인 쓰임새를 알고난 뒤에서야 그럴싸해진다. 당장은 그 이름 자체에 집착하지 말고 넘어가자.
악명
호몰로지는 의외로 일반대중에게 인지도가 높은 개념이다. 물론 호몰로지라는 단어를 기억하는 건 아니지만, 트위터발 썰이 컬트적인 인기를 끌며 서울대생도 쉽게 설명 못하는 어려운 무언가로 널리 알려진 바 있다.
