📂복소해석

복소해석을 사용한 테일러 급수 유도

정리 ¹

함수 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 원 $|z - \alpha| < r$ 에서 해석적이면 $$ f(z) = \sum_{n = 0} ^{\infty} {{f^{(n)} (\alpha)} \over {n!}} (z - \alpha)^n $$

설명

수학의 즐거움 중 하나가 바로 일반화다. 테일러 정리부터가 평균값의 정리를 일반화했다고 할 수 있는데, 이번엔 실수를 복소수로 확장해보자. 재미있는 사실은 꾸역꾸역 확장하는 게 아니라 사실상 처음부터 쌓아올림에도 불구하고 증명은 더 간단해졌다는 것이다. 신박한데다가 모양새가 깔끔해서 공부하는 보람을 느끼게 해주는 증명법이다.

유도

우선 원 $\mathscr{C}: |z| = r$ 과 그 내부의 점 $w$ 를 생각해보자. 코시 적분 공식에 의해, $$ \begin{align*} f(w) =& {{1} \over {2 \pi i}} \int_{ \mathscr{C} } {{f(z)} \over {z - w}} dz \\ =& {{1} \over {2 \pi i}} \int_{ \mathscr{C} } {{f(z)} \over {z}} { {1} \over {1 - {{w} \over {z}} } } dz \end{align*} $$ 무한등비급수로 나타내면 $\displaystyle {{1} \over {1 - { {w} \over {z} } }} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( {{w} \over {z}} \right) ^{n}$ 이고 위 적분에 다시 대입하면 $$ \begin{align*} f(w) =& {{1} \over {2 \pi i}} \int_{ \mathscr{C} } {{f(z)} \over {z}} \sum_{n=0}^{\infty} \left( {{w} \over {z}} \right) ^{n} dz \\ =& {{1} \over {2 \pi i}} \sum_{n=0}^{\infty} w^{n} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over {z^{n+1}}} dz \end{align*} $$

미분에 대해 일반화한 코시 적분 공식: 함수 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 단순연결영역 $\mathscr{R}$ 에서 해석적이라고 하자.

$\mathscr{R}$ 내부의 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 가 어떤 점 $\alpha$ 를 둘러싸고 있다면, 자연수 $n$ 에 대해

$$f^{(n)} (\alpha) = {{n!} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - \alpha)^{n+1} }} dz$$

다시 한 번 코시 적분 공식에 의해 $\displaystyle {{1} \over {2 \pi i}} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over {z^{n+1}}} dz = {{f^{(n)} (0)} \over {n!}}$ 이므로 $$ f(w) = \sum_{n = 0} ^{\infty} {{f^{(n)} (0)} \over {n!}} w^n $$ 이다. 이제 원 $|z- \alpha| = r$ 로 일반화 하기 위해 $z-\alpha = w$ 라고 두면 $$ f(z) = f(w+\alpha) = \sum_{n=0}^{\infty} {{f^{(n)}(\alpha) (z-\alpha)^{n}} \over {n!}} $$

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