📂복소해석

바이어슈트라스 M 판정법

정리 ¹

함수 $f_{n}$ 와 $z \in A$ 에 대해 $|f_{n}(z)| \le M_{n}$ 을 만족하는 양수의 수열 $M_{n}$ 이 존재하고 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ 이 수렴하면 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 은 $A$ 에서 절대수렴하고 균등수렴한다.

설명

M 판정법이라는 이름은 수열 $M_{n}$ 에서 따온 것이다. 이미 수렴한다는 사실을 아는 $M_{n}$ 을 잘 가져와 함수의 절댓값과 부등식을 세울 수 있으면 그냥 수렴도 아니고 절대수렴과 균등수렴을 동시에 보일 수 있어 유용한 정리다. 무엇보다 부등식이 세워지고 난 뒤에는 실수의 수열만 생각하면 되기 때문에 편리하다.

증명

절대수렴은 아주 쉽게 보일 수 있다.

교대급수 판정법: $b_n \downarrow 0$ 이면 $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ (-1)^{n} {b}_{n}}$은 수렴한다.

비교 판정법과 정리의 가정에 의해 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |f_{n}(z)|$ 는 수렴하고, 절대수렴의 정의에 따라 절대수렴한다고 말할 수 있다.

이어서 균등수렴은 코시 판정법을 이용한다.

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)$ 에서 $k$ 번째 이후의 나머지 항들의 합을 $R_{k}(z)$ 라고 하고, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ 에서 $k$ 번째 이후의 나머지 항들의 합을 $R_{k}^{ \ast }$ 라고 하면 다음이 성립한다. $$ |R_{k}(z)| = \left| \sum_{n=k+1}^{\infty} f_{n}(z) \right| \le \sum_{n=k+1}^{\infty} |f_{n}(z)| \le \sum_{n=k+1}^{\infty} M_{n} = R_{k}^{ \ast } $$

코시 판정법: $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$ 이 수렴하는 것은 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum _{ k=n }^{ n+m }{ { a }_{ k }}=0$ 과 동치다.

코시 판정법에 의해 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} R_{k}^{ \ast } = 0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} |R_{k}(z)| = 0$, 즉 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} R_{k}(z) = 0$ 이다. 모든 $z \in A$ 에서 위의 논의를 적용시킬 수 있으므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)$ 은 $A$ 에서 균등수렴한다.

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