📂복소해석

로체의 정리 증명

정리 ¹

$f$ 와 $g$ 가 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 와 그 내부에서 해석적이고 $\mathscr{C}$ 상에서 $|g(z)| < |f(z)|$ 을 만족하면 $f$ 와 $f + g$ 는 $\mathscr{C}$ 내부에서 같은 수의 영점을 갖는다.

설명

원래 주어진 함수를 $h = f + g$ 로 생각하고 $f$ 와 $g$ 로 잘 분리해서 쓰는 정리다. 특히 다항함수의 경우엔 이러한 조작이 아주 쉽기 때문에 유용하게 써먹을 수 있다. 또한 수치해석적인 방법과 함께라면 방정식 $h(z) = 0$ 의 해가 구체적으로 어디에 위치하는지 상당히 정확하게 알아낼 수 있다.

증명

전략: $Z(0)$ 는 $f$ 의 영점의 갯수, $Z(1)$ 는 $g$ 의 영점의 갯수를 나타내도록 하는 $Z$ 를 정의하고 $Z(0) = Z(1)$ 임을 보인다. $Z$ 의 함숫값은 정수고, 만약 연속함수라면 그러한 $Z$ 는 상수함수 뿐이므로 $Z(0) = Z(1)$ 를 얻을 수 있다.

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$t \in [0,1]$ 에 대해 $h(z,t) := f(z) + t g(z)$ 를 생각해보자. $f$ 와 $g$ 는 $\mathscr{C}$ 와 그 내부에서 해석적이므로, $h(z,t)$ 는 픽스된 $t$ 에 대해 $\mathscr{C}$ 와 그 내부에서 극점을 가지지 않는다. 만약 $f(z) + t g(z) = 0$ 이면 $$|f(z)| = |-tg(z)| = |tg(z)|$$ 인데 $t \in [0,1]$ 이므로 $|f(z)| \le |g(z)|$ 이다. 이는 가정에 모순이므로 $f(z) + t g(z) \ne 0$ 이어야한다.

$f(z) + t g(z) \ne 0$ 이므로 새로운 함수 $\displaystyle Z(t) := {{1} \over {2 \pi i}} \int_{\mathscr{C}} {{f ' (z) + t g ' (z) } \over {f(z) + t g (z) }} dz$ 를 정의할 수 있다.

$Z: [0,1] \to \mathbb{Z}$ 의 정의에 따르면 $Z(t)$ 는 유리형함수 $f(z) + t g (z)$ 의 영점의 갯수다. 여기서 $t=0$ 이면 $Z(0)$ 는 $f$ 의 영점의 갯수고 $t=1$ 이면 $Z(1)$ 은 $f+g$ 의 영점의 갯수가 될 것이다. 즉 $Z(0) = Z(1)$ 임을 보이면 증명은 끝난다.

한편 $Z: [0,1] \to \mathbb{Z}$ 는 공역이 정수집합 $\mathbb{Z}$이므로 $Z$ 가 연속함수면 $Z$ 는 상수함수일 수 밖에 없다. $| Z(t) - Z(s)|$ 를 계산해보면 통분을 하게 되면서 $$|Z(t) - Z(s)| = {{ |t-s| } \over {2 \pi}} \left| \int_{\mathscr{C}} {{f(z) g ' (z) - f '(z) g(z)} \over { (f(z) + t g(z))(f(z) + s g(z)) }} dz \right|$$ 를 얻는다. 한편 $$| f(z) + t g(z) | \ge |f(z)| - t |g(z)| \ge |f(z)| - |g(z)| > 0$$

$$| f(z) + s g(z) | \ge |f(z)| - |g(z)| > 0$$ 여기서 $\mathscr{C}$ 은 컴팩트하므로 최대최소값 정리에 따라 $\displaystyle \left| {{f(z) g ' (z) - f '(z) g(z)} \over { (|f(z)| - |g(z)|)^2 }} \right| \le M$ 을 만족하는 $M>0$ 이 존재한다.

ML 보조정리: $|f(z)| \le M$ 을 만족하는 양수 $M$과 $\mathscr{C}$ 의 길이 $L$ 에 대해 $$\left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML$$

$\mathscr{C}$ 의 길이를 $L$ 이라고 하면 $$|Z(t) - Z(s)| \le |t - s|{{ML} \over {2 \pi}}$$ 따라서 $| t - s | \to 0$ 일 때 $| Z(t) - Z(s) | \to 0$ 이고 이는 $Z$ 가 (균등)연속임을 의미한다. $Z(t)$ 의 함수값은 정수인데 연속성을 가지려면 $Z$ 는 상수함수가 될 수밖에 없고, $Z(0) = Z(1)$ 을 얻는다.

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