📂복소해석

유리형함수의 영점과 극점

정리 ¹

단순폐경로 $\mathscr{C}$ 에서 해석적인 함수 $f$ 가 $\mathscr{C}$ 내부에서 $Z$개의 영점과 $P$개의 극점을 갖고 $\mathscr{C}$ 상에서 $f(z) \ne 0$ 이라고 하자. 그러면 $$ {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f ' (z)} \over {f(z)}} dz = Z - P $$

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• $Z$ 와 $P$ 는 중복되는 수를 모두 더한 수다.

설명

해석적 정수론

함수 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 극점을 갖지 않는다면 방정식 $f(z) = 0$ 의 해의 갯수를 구하는 공식이 될 것이다. 눈여겨봐야할 점은 정수가 등장했다는 것이다. 복소해석은 언뜻 봐서는 정수론과 전혀 관계가 없을 것 같지만 실제론 굉장히 많이 사용되고 있다. 아예 정수론에서는 복소해석을 사용하지 않은 증명을 일컫는 ‘초등적 증명’이라는 단어가 있을 정도다.

로그 트릭

피적분 함수가 저렇게 생겨서야 어딜 써먹겠나 싶겠지만 $\log f$ 의 도함수 꼴이다. 이와 같은 모양은 생각보다 분야를 가리지 않고 수학 전반에서 자주 등장한다.

산술함수의 미분: 산술 함수 $f$ 의 미분 혹은 도함수 $f '$ 를 다음과 같이 정의한다. $$ f ' (n) := f(n) \log n \qquad , n \in \mathbb{N} $$

증명

전략: 일반성을 잃지 않고, $n$차 영점과 $m$차 극점을 하나씩만 가진다고 하자. 그들은 기하적으로 봤을 땐 하나의 점이지만 대수적으로 보았을 때는 각각 중복도^multiplicity $n$ 과 $m$ 을 가지는, 즉 여러 점이 한 곳에 뭉쳐있는 것이다. 이들 두 점에 대해서만 공식을 유도하고 여러개의 점은 $\mathscr{C}$ 를 쪼개서 일반화하면 된다.

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Part 1. 영점

$\alpha$ 를 $f$ 의 $n$차^{order $n$} 영점이라고 하면 어떤 함수 $g$ 에 대해 $f(z) = (z- \alpha)^{n} g(z)$ 로 나타낼 수 있고, 그 도함수 $$ f ' (z) = n \left( n - \alpha \right)^{n-1} g(z) + (z- \alpha)^{n} g ' (z) $$ 를 $f(z)$ 로 나누면 다음과 같이 좌변을 로그합성함수의 도함수 트릭 꼴로 나타낼 수 있다. $$ {{f ' (z)} \over {f(z)}} = {{n} \over {z - \alpha}} + {{g ' (z)} \over {g(z)}} $$ $\mathscr{C}$ 상에서 $f(z) \ne 0$ 이므로 $\log f$ 는 $\mathscr{C}$ 전체에서 해석적이다. 한편 해석적 함수의 도함수는 해석적이므로 $f ' / f$ 역시 해석적이고, 마찬가지로 $\mathscr{C}$ 상에서는 $f(z) \ne 0$ 이므로 $1 / (z - \alpha)$ 역시 해석적이다. 이에 따라 $\displaystyle {{g ' (z)} \over {g(z)}} = {{n} \over {z - \alpha}} - {{f ' (z)} \over {f(z)}}$ 도 $\alpha$ 에서 해석적이다.

• 코시 적분 공식 $$ f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz $$
• 코시 정리: $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0 $$

$f$ 의 다른 영점이나 극점을 포함하지 않는 $\alpha$ 의 어떤 근방 $\mathcal{N}_{\alpha}$ 에서 코시 적분 공식에 따라 $$ \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{n} \over {z - \alpha}} dz = 2 n \pi i $$ 이고 코시 정리에 따라 $$ \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{g ' (z)} \over {g(z)}} dz = 0 $$ 이므로 결과적으로 다음을 얻는다. $$ \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{f ' (z)} \over {f(z)}} dz = 0 + 2 n \pi i $$

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Part 2. 극점

극점에 대해서도 영점에서 했던것과 비슷하다. $\beta$ 를 $f$ 의 $m$차 극점이라고 하자. 그러면 어떤 함수 $h$ 에 대해 $\displaystyle f(z) = {{h(z)} \over {(z - \beta)^m}}$ 로 나타낼 수 있을 것이다.

한편 $\displaystyle {{f ' (z)} \over {f(z)}} = {{h ' (z)} \over {h(z)}} - {{m} \over {z - \beta}}$ 에서 $\displaystyle {{h ' (z)} \over {h(z)}}$ 는 $\beta$ 의 근방 $\mathcal{N}_{\beta}$ 에서 해석적이므로,코시 정리에 의해 $$ \int_{\mathcal{N}_{\beta}} {{h ' (z)} \over {h(z)}} dz = 0 $$ 코시 적분 공식에 의해 $$ \int_{\mathcal{N}_{\beta}} {{m} \over {z - \alpha}} dz = 2 m \pi i $$

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Part 3. 결론

일반화된 수축 보조정리에 따라, 모든 영점과 극점에 대해 지금까지의 계산을 유한히 반복하면 다음을 얻는다. $$ {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f ' (z)} \over {f(z)}} dz = \sum n_{i} - \sum m_{j} = Z - P $$

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