📂복소해석

푸아송 적분 공식 유도

공식 ¹

함수 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 원 $\mathscr{C}: |z| = r$ 을 포함하는 단순연결영역에서 해석적이라고 하자. 그러면 $0 < \rho < r$ 에 대해 $$ f( \rho e ^{i \phi} ) = {{1} \over { 2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} {{r^2 - \rho^2 } \over {r^2 - 2 r \rho \cos (\theta - \phi) + \rho ^2 }} f(r e^{i \theta}) d \theta $$

유도

전략: 본질적으로 코시 적분 공식의 변형이다. 무수한 잔계산을 거칠 뿐이기 때문에 유도과정 자체는 한 번 읽어보는 것 외에 큰 가치는 없다.

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먼저 $\mathscr{C}$ 내부의 $f(\alpha) \ne 0$ 를 만족하는 $\alpha$ 에 대해 $\displaystyle f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} \left( {{1} \over { z - \alpha }} - {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} \right) f(z) dz$ 이 성립함을 보이자.

$\alpha$ 가 $\mathscr{C}$ 내부의 점이므로 $|\alpha| < r$ 이고, 따라서 $$ {{r^2} \over {|\alpha^2|}} > 1 $$ $\displaystyle {{r^2} \over {| \overline{ \alpha } |}} = {{ r^2 } \over { |\alpha|^2 }} \left| \alpha \right|$ 이므로 $$ |\alpha| < {{r^2} \over {| \overline{ \alpha } |}} $$ 실수의 조밀성에 의해 $|\alpha|$ 보다 크고 $\displaystyle {{r^2} \over {| \overline{ \alpha } |}}$ 보다 작은 $\rho$ 를 반지름으로 갖는 원 ${\mathscr{C}} ': |z| = \rho$ 를 생각해볼 수 있다. 정의에 따라 ${\mathscr{C}} ': |z| = \rho$ 는 $\alpha$ 를 포함하지만 $\displaystyle {{r^2} \over { \overline{ \alpha } }}$ 는 포함하지 않는다. 수축 보조정리에 의해 $$ \begin{align*} & {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} \left( {{1} \over { z - \alpha }} - {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} \right) f(z) dz \\ =& {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}’} \left( {{1} \over { z - \alpha }} - {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} \right) f(z) dz \\ =& {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}’} {{1} \over { z - \alpha }} f(z) dz - {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}’} {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} f(z) dz \end{align*} $$ 코시 적분 공식에 의해 $$ {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}’} {{1} \over { z - \alpha }} f(z) dz = f(\alpha) $$ 코시 정리에 의해 $$ {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}’} {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} f(z) dz = 0 $$ 따라서 다음을 얻는다. $$ f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} \left( {{1} \over { z - \alpha }} - {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} \right) f(z) dz $$

한편 $$ \left( {{1} \over { z - \alpha }} - {{1} \over { z - r^2 / \overline{\alpha} }} \right) = {{z- r^2 / \overline{\alpha} -z +\alpha} \over {(z-\alpha)(z - r^2 / \overline{\alpha} )}} = \alpha {{1 - | r^2 / \alpha^2 | } \over {(z-\alpha)(z - r^2 / \overline{\alpha} )}} $$ 이므로, 정리하면 $$ f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} \alpha {{1 - | r^2 / \alpha^2 | } \over {(z-\alpha)(z - r^2 / \overline{\alpha} )}} f(z) dz $$ $z = r e^{i \theta}, 0 \le \theta < 2 \pi$ 와 $\alpha = \rho e^{ i \phi} , 0 \le \phi < 2 \pi$ 으로 치환하면 $$ \begin{align*} f(\rho e^{ i \phi}) =& {{1} \over {2 \pi i }} \int_{0}^{2 \pi} { { \rho e^{ i \phi} ( 1 - | r^2 / \rho^2 | ) } \over {(r e^{i \theta} - \rho e^{ i \phi} )( r e^{i \theta} - r^2 / \rho e^{ -i \phi} )}} f( r e^{i \theta} ) i r e^{i \theta} d \theta \\ =& {{1} \over {2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} { { {{r} \over {\rho}} e^{ i \phi} ( \rho^2 - r^2 ) e^{i \theta} } \over { {{r} \over {\rho}} (r e^{i \theta} - \rho e^{ i \phi} )( \rho e^{i \theta} - r e^{ i \phi} )}} f( r e^{i \theta} ) d \theta \\ =& {{1} \over {2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} { { ( \rho^2 - r^2 ) e^{i (\theta + \phi)} } \over { r \rho e ^{2 i \theta} - \rho^2 e^{i ( \theta + \phi )} - r^2 e^{i (\theta + \phi)} + r \rho e ^{ 2 i \phi} }} f( r e^{i \theta} ) d \theta \\ =& {{1} \over {2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} { { \rho^2 - r^2 } \over { r \rho e ^{ i (\theta - \phi)} - \rho^2 - r^2 + r \rho e ^{ i (\phi - \theta )} }} f( r e^{i \theta} ) d \theta \\ =& {{1} \over {2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} { { r^2 - \rho^2 } \over { r^2 - 2 r \rho \cos (\theta - \phi) + \rho ^2 }} f( r e^{i \theta} ) d \theta \end{align*} $$

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