📂복소해석

최대절댓값 정리 증명

정리 ¹

함수 $f$ 가 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 상에서 연속이고 내부에서 해석적이면서 어떤 점에서도 상수함수가 아니라고 하자. 그러면 $\mathscr{C}$ 에서 $|f(z)|$ 를 가장 크게 하는 $z = z_{0}$ 는 $\mathscr{C}$ 상에 존재한다.

설명

쉽게 말해 복소해석에서는 폐경로 내에서 $|f|$ 의 최댓값은 그 테두리에 존재한다는 것이다. 이쯤되면 직관적으로는 따라잡을 수가 없는 수준으로, 왜인지는 모르겠으나 참 신기하다는 말밖에 나오지 않는다. 체득을 위해서는 실제로 직접 여러가지 함수들을 생각해보고 사실임을 확인하는 것이 좋다.

보통 정리란 건 팩트로썬 받아들이기 쉬워도 증명을 이해하기가 어렵지만 최대-최소절댓값 정리는 오히려 그 반대다.절댓값이 쓰이다보니 실함수에서의 기하학적인 모양이 계속 떠올라 이해하는데 방해가 될 수 있다. 백 번 양보해서 어떤 함수가 있고 경로적분 구간의 테두리에 최대절댓값이 존재하는 건 그렇다 치더라도, 최솟절댓값 역시 같은 테두리에 있다고는 상상하기가 어렵다. 그러니 너무 모양에 신경쓰지 말고 위에서 설명했듯 직접 여러 함수에 적용시켜가며 받아들이도록 하자.

다음은 $\displaystyle {{1} \over {f}}$ 를 생각해보면 당연한 것으로, 최대절댓값 정리에 의해 $\displaystyle \left| {{1} \over {f}} \right|$ 를 가장 크게 하는 점이 $\mathscr{C}$ 상에 존재한다. 그 점은 바꿔 말하면 $|f|$ 를 가장 작게 하는 점이므로, 최소절댓값 정리를 연역해낼 수 있다.

최소절댓값 정리

함수 $f$ 가 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 상에서 연속이고 내부에서 해석적이면서 어떤 점에서도 상수함수가 아니라고 하자.

$\mathscr{C}$ 내부에서 $|f(z)| \ne 0$ 이면 $|f(z)|$ 를 가장 작게 하는 $z = z_{0}$ 는 $\mathscr{C}$ 상에 존재한다.

증명

$|f(z)|$ 가 최대가 되는 점을 $z = z_{0}$ 가 $\mathscr{C}$ 내부에 존재한다고 가정하자. 그러면 실수의 조밀성에 의해 $|z - z_{0}| = r$ 이 $\mathscr{C}$ 내부에 존재하도록 하는 $r>0$ 도 항상 존재한다.

한편 $\left| f(z_{0}) \right|$ 는 $z = z_{0}$ 에서 최댓값을 가지므로 $|f(z_{0} + r e ^{ i \theta } )| \le \left| f(z_{0}) \right|$인데, 어떤 점에서도 상수함수가 아니므로 $|f(z_{0} + r e ^{ i \theta } )| < \left| f(z_{0}) \right|$ 이어야한다.

가우스의 평균값 정리: 함수 $f$ 가 닫힌 원 $| z - z_{0} | \le r$ 에서 해석적이면 $$f(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta$$

가우스의 평균값 정리에 의해 $$ f(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta $$ 양변에 절댓값을 취하면 $$ \begin{align*} \left| f(z_{0}) \right| =& \left| {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta \right| \\ \le & {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} | f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) | d \theta \end{align*} $$ 그런데 $$ \begin{align*} \left| f(z_{0}) \right| \le & {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} | f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) | d \theta \\ <& {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} | f(z_{0}) | d \theta \\ =& \left| f(z_{0}) \right| \end{align*} $$ 이므로 $$ \left| f(z_{0}) \right| < \left| f(z_{0}) \right| $$ 이는 모순이므로, $z=z_{0}$ 은 $\mathscr{C}$ 내부에 존재할 수 없다.

■