📂수리통계학

보조통계량

정의 ¹

$S$ 가 샘플 $\mathbf{X}$ 의 통계량이라고 하자. $S \left( \mathbf{X} \right)$ 의 분포가 모수 $\theta$ 에 종속되지 않으면 보조통계량^{ancillary statistic}이라 한다.

설명

사실 말로 할 땐 아무도 보조통계량이라 하지 않고 [앵실러리 스태티스틱]이라고 발음한다.

충분통계량이 $\theta$ 에 대한 모든 정보를 가지고 있다는 느낌이라면, 보조통계량은 $\theta$ 에 대한 정보가 전혀 없는 통계량으로 생각해볼 수 있다.

예로써 정규분포 $N \left( \mu , \sigma^{2} \right)$ 에서 얻은 랜덤샘플 $X_{1} , \cdots , X_{n}$ 을 생각해보면, 통계량 중 하나인 표본분산 $$ S^{2} = {{ 1 } \over { n -1 }} \sum_{k=1}^{n} X_{k}^{2} $$ 은 모분산 $\sigma^{2}$ 에 대한 충분통계량이지만, 스튜던트의 정리에 따라 $$ {{ n-1 } \over { \sigma^{2} }} S^{2} \sim \chi_{n-1}^{2} $$ 이다. 다시 말해, 표본분산이 따르는 카이제곱분포에는 $\mu$ 가 나타나지 않고 $\mu$ 에 대해서는 보조통계량이다.