📂행렬대수

페론-프로베니우스 정리

정리

보조정의

1. 행렬에 퍼뮤테이션^permutation을 취한다는 것은 말 그대로 행과 열의 순서를 바꾸는 것을 말한다.
2. 행렬 $A$ 축소가능^reducible하다는 것은 퍼뮤테이션을 취한 $\tilde{A}$ 가 다음과 같이 두 어떤 정사각행렬 $B, D$ 과 영행렬 $O$, 행렬 $C$ 에 대해 조던 블럭 폼으로 나타낼 수 있다는 것이다¹. 축소가능이 아니면 축소불가^irreducible하다고 말한다.

$$ \tilde{A} = \begin{bmatrix} B & O \\ C & D \end{bmatrix} $$

페론^perron

모든 $i,j \in \left\{ 1 , \cdots , n \right\}$ 에 대해 $\left( A \right)_{ij} > 0$ 인 양행렬^{positive matrix} $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 은 항상 다음을 만족하는 고유값 $\lambda > 0$ 를 가진다.

• (i): $\lambda$ 는 대수적 중복도 $1$ 을 가진다.
• (ii): $\lambda$ 에 대응되는 고유벡터의 성분은 모두 양수다.
• (iii): 다른 모든 고유값 $\mu$ 에 대해, $\lambda > \left| \mu \right|$ 다.

달리 말해, $A$ 의 모든 고유값은 양수고 대수적 중복도가 $1$ 인 스펙트럴 래디어스 $\rho (A)$ 를 가진다.

프로베니우스^Frobenius

모든 $i,j \in \left\{ 1 , \cdots , n \right\}$ 에 대해 $\left( A \right)_{ij} \ge 0$ 인 축소불가비음행렬^{irreducible Non-negative matrix} $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 은 항상 페론의 정리에서 언급된 성질들을 모두 만족하는 고유값 $\lambda > 0$ 를 가진다.

설명

축소가능행렬

모든 양행렬은 축소불가($\not\exist O$)면서 비음행렬($(A)_{ij} > 0 \ge 0$)이므로, 프로베니우스 정리는 페론 정리의 일반화다. 통칭 페론-프로베니우스 정리라 불리며 양자역학이나 수리생물학 등의 다양한 분야에서 응용되고 있다. 그 증명은 상당히 길고 까다로워 생략한다.²

한편 축소가능 행렬의 행렬식에 에 대해 다음의 정리가 알려져있다.

블럭행렬의 행렬식: 행과 열에 순열을 취해 다음과 같은 꼴로 나타날수 있는 행렬을 축소가능행렬이라 하며, 그 행렬식은 $\pm \det B \det D$ 다. $$ A = \begin{bmatrix} B & O \\ C & D \end{bmatrix} $$

그래프이론

심플그래프의 인접행렬은 $0$ 과 $1$ 만을 성분으로 가지는 비음행렬이며, 특히 연결그래프면 축소가능행렬의 정의에서 말하는 $O$ 와 같은 영행렬이 존재할 수 없으므로 페론-프로베니우스 정리의 조건을 모두 만족 시킨다. 많은 경우 그래프이론에서 관심을 가지는 그래프는 연결심플그래프이므로, 어지간히 독특한 그래프가 아닌 이상 그 인접행렬은 스펙트럴 래디어스를 가진다는 것을 보장할 수 있다.