지시함수의 곱

정리

$x_{1} , \cdots , x_{n} \in \mathbb{R}$ 과 상수 $\theta \in \mathbb{R}$ 에 대해 $I_{\cdot} \left( x_{i} \right)$ 의 곱은 다음과 같다. $$ \prod_{i=1}^{n} I_{[\theta,\infty)} \left( x_{i} \right) = I_{[\theta,\infty)} \left( \min_{i \in [n]} x_{i} \right) $$

$I_{A}$ 는 집합 $A$ 에 대한 지시함수다. $$ I_{A} (x) = \begin{cases} 1 & , x \in A \\ 0 & , x \notin A \end{cases} $$

증명

몇 개의 $x_{i}$ 가 $[\theta , \infty)$ 에 속하든 제일 작은 $\min x_{i}$ 가 $\theta$ 보다 작으면 결국 $0$ 이고, 아닌 부분은 $1$ 의 곱이므로 모든 $x_{i}$ 를 고려할 필요가 없다.

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설명

반대방향

충분통계량에 관련된 정리의 증명에 필요하다. 당연하지만 반대방향으로써 다음의 정리를 생각해볼 수 있다. $$ \prod_{i=1}^{n} I_{(-\infty, \theta]} \left( x_{i} \right) = I_{(-\infty, \theta]} \left( \max_{i \in [n]} x_{i} \right) $$

$x$ 가 고정된 경우

소개된 정리는 $x_{1} , \cdots , x_{n} \in \mathbb{R}$ 가 변수고 집합은 고정되어있었다. 대신 $x$ 가 고정되어있고 $A_{1} , \cdots , A_{n}$ 가 변수일 때는 다음과 같은 지시함수의 곱을 생각할 수 있다. $$ \prod_{i=1}^{n} I_{A_{i}} (x) = I_{\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}} (x) $$