📂보조정리

여러 부등식을 요약하는 부등식꼴

정리

$x_{1} , \cdots , x_{n}$ 와 양수 $a_{1} , \cdots , a_{n} > 0$ 들과 상수 $\theta \in \mathbb{R}$ 가 주어져 있다고 하자. $$\forall i \in [n] : x_{i} < a_{i} \theta \iff \max_{i \in [n]} {{ x_{i} } \over { a_{i} }} < \theta$$

정리

$(\implies)$ 모든 $i \in [n]$ 에 대해 $x_{i} / a_{i} < \theta$ 이 성립한다는 것은 가장 큰 $x_{i} / a_{i}$ 조차 $\theta$ 보다 작다는 것이다. $(\impliedby)$ 가장 큰 $x_{i} / a_{i}$ 조차 $\theta$ 보다 작다는 것은 모든 $i \in [n]$ 에 대해 $x_{i} / a_{i} < \theta$ 이 성립한다는 것이다.

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설명

반대방향

충분통계량에 관련된 정리의 증명에 필요하다. 당연하지만 반대방향으로써 다음의 정리를 생각해볼 수 있다. $$\forall i \in [n] : x_{i} > b_{i} \theta \iff \min_{i \in [n]} {{ x_{i} } \over { b_{i} }} > \theta$$