t-분포에서 F-분포 유도
📂확률분포론 t-분포에서 F-분포 유도 정리 자유도 ν > 0 \nu > 0 ν > 0 인 t-분포 를 따르는 확률변수 X ∼ t ( ν ) X \sim t(\nu) X ∼ t ( ν ) 에 대해 다음과 같이 정의된 Y Y Y 는 F-분포 F ( 1 , ν ) F (1,\nu) F ( 1 , ν ) 을 따른다.
Y : = X 2 ∼ F ( 1 , ν )
Y := X^{2} \sim F (1,\nu)
Y := X 2 ∼ F ( 1 , ν )
증명 카이제곱분포를 통한 우회 X ∼ t ( ν ) X \sim t(\nu) X ∼ t ( ν ) 는 표준정규분포 를 따르는 Z ∼ N ( 0 , 1 ) Z \sim N(0,1) Z ∼ N ( 0 , 1 ) 와 자유도 ν \nu ν 인 카이제곱분포 를 따르는 W W W 에 대해
X 2 = ( Z W / ν ) 2 = Z 2 / 1 W / ν , Z ⊥ W
X^{2} = \left( {{ Z } \over { \sqrt{W / \nu} }} \right)^{2} = {{ Z^{2} / 1 } \over { W / \nu }} \qquad , Z \perp W
X 2 = ( W / ν Z ) 2 = W / ν Z 2 /1 , Z ⊥ W
이고, Z 2 Z^{2} Z 2 은 자유도 1 1 1 인 카이제곱분포 를 따른다. 독립인 두 카이제곱 분포에서 F-분포가 유도 되므로, X 2 ∼ F ( 1 , ν ) X^{2} \sim F(1, \nu) X 2 ∼ F ( 1 , ν ) 다.
■
확률밀도함수를 통한 직접연역 전략: 확률밀도함수 로 직접연역한다.
t-분포의 정의 : 자유도 ν > 0 \nu > 0 ν > 0 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속 확률 분포 t ( ν ) t \left( \nu \right) t ( ν ) 를 t-분포라고 한다.
f ( x ) = Γ ( ν + 1 2 ) ν π Γ ( ν 2 ) ( 1 + x 2 ν ) − ν + 1 2 , x ∈ R
f(x) = {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \sqrt{\nu \pi} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} \qquad ,x \in \mathbb{R}
f ( x ) = ν π Γ ( 2 ν ) Γ ( 2 ν + 1 ) ( 1 + ν x 2 ) − 2 ν + 1 , x ∈ R
F-분포의 정의 : 자유도 r 1 , r 2 > 0 r_{1}, r_{2} > 0 r 1 , r 2 > 0 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속 확률 분포 F ( r 1 , r 2 ) F \left( r_{1} , r_{2} \right) F ( r 1 , r 2 ) 를 F-분포라고 한다.
f ( x ) = 1 B ( r 1 / 2 , r 2 / 2 ) ( r 1 r 2 ) r 1 / 2 x r 1 / 2 − 1 ( 1 + r 1 r 2 x ) − ( r 1 + r 2 ) / 2 , x ∈ ( 0 , ∞ )
f(x) = {{ 1 } \over { B \left( r_{1}/2 , r_{2} / 2 \right) }} \left( {{ r_{1} } \over { r_{2} }} \right)^{r_{1} / 2} x^{r_{1} / 2 - 1} \left( 1 + {{ r_{1} } \over { r_{2} }} x \right)^{-(r_{1} + r_{2}) / 2} \qquad , x \in (0, \infty)
f ( x ) = B ( r 1 /2 , r 2 /2 ) 1 ( r 2 r 1 ) r 1 /2 x r 1 /2 − 1 ( 1 + r 2 r 1 x ) − ( r 1 + r 2 ) /2 , x ∈ ( 0 , ∞ )
Y = X 2 ⟹ Y = X
\begin{align*}
& Y = X^{2}
\\ \implies & \sqrt{Y} = X
\end{align*}
⟹ Y = X 2 Y = X
이고 λ ( X ) : = X 2 \lambda (X) := X^{2} λ ( X ) := X 2 가 단사 함수가 아니므로 X X X 의 서포트는 x ≥ 0 x \ge 0 x ≥ 0 과 x < 0 x < 0 x < 0 둘로 나뉜다. 그 자코비안 은
d y = 2 x d x dy = 2 x dx d y = 2 x d x
이므로 Y Y Y 의 확률밀도함수 f Y f_{Y} f Y 는
f Y ( y ) = ∑ k = 1 2 Γ ( ν + 1 2 ) ν π Γ ( ν 2 ) ( 1 + x 2 ν ) − ν + 1 2 ⋅ ∣ 1 2 x ∣ = Γ ( ν + 1 2 ) ν π Γ ( ν 2 ) ( 1 + x 2 ν ) − ν + 1 2 ⋅ 1 x
\begin{align*}
f_{Y}(y) =& \sum_{k=1}^{2} {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \sqrt{\nu \pi} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} \cdot \left| {{ 1 } \over { 2x }} \right|
\\ =& {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \sqrt{\nu \pi} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} \cdot {{ 1 } \over { x }}
\end{align*}
f Y ( y ) = = k = 1 ∑ 2 ν π Γ ( 2 ν ) Γ ( 2 ν + 1 ) ( 1 + ν x 2 ) − 2 ν + 1 ⋅ 2 x 1 ν π Γ ( 2 ν ) Γ ( 2 ν + 1 ) ( 1 + ν x 2 ) − 2 ν + 1 ⋅ x 1
으로부터 계산될 것이다.
베타함수와 감마함수의 관계 :
B ( p , q ) = Γ ( p ) Γ ( q ) Γ ( p + q )
B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }}
B ( p , q ) = Γ ( p + q ) Γ ( p ) Γ ( q )
오일러의 반사 공식 에 따라 π = Γ ( 1 / 2 ) \sqrt{\pi} = \Gamma (1/2) π = Γ ( 1/2 ) 이고, 위 보조정리에 따라
f Y ( y ) = Γ ( ν + 1 2 ) Γ ( 1 / 2 ) Γ ( ν 2 ) 1 ν ( 1 + x 2 ν ) − ν + 1 2 x − 1 = Γ ( ν + 1 2 ) Γ ( 1 / 2 ) Γ ( ν 2 ) 1 ν y − 1 ( 1 + y ν ) − ν + 1 2 = 1 B ( 1 / 2 , ν / 2 ) ( 1 ν ) 1 / 2 y 1 / 2 − 1 ( 1 + 1 ν y ) − 1 + ν 2
\begin{align*}
f_{Y}(y) =& {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma (1/2) \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} {{ 1 } \over { \sqrt{\nu} }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} x^{-1}
\\ =& {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma (1/2) \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} {{ 1 } \over { \sqrt{\nu} }} \sqrt{y}^{-1} \left( 1 + {{ y } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}}
\\ =& {{ 1 } \over { B (1/2, \nu/2) }} \left( {{ 1 } \over { \nu }} \right)^{1/2} y^{1/2-1} \left( 1 + {{ 1 } \over { \nu }} y \right)^{- {{ 1 + \nu } \over { 2 }}}
\end{align*}
f Y ( y ) = = = Γ ( 1/2 ) Γ ( 2 ν ) Γ ( 2 ν + 1 ) ν 1 ( 1 + ν x 2 ) − 2 ν + 1 x − 1 Γ ( 1/2 ) Γ ( 2 ν ) Γ ( 2 ν + 1 ) ν 1 y − 1 ( 1 + ν y ) − 2 ν + 1 B ( 1/2 , ν /2 ) 1 ( ν 1 ) 1/2 y 1/2 − 1 ( 1 + ν 1 y ) − 2 1 + ν
■