📂확률분포론

t-분포에서 F-분포 유도

정리 ¹

자유도 $\nu > 0$ 인 t-분포를 따르는 확률변수 $X \sim t(\nu)$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $Y$ 는 F-분포 $F (1,\nu)$ 을 따른다. $$ Y := X^{2} \sim F (1,\nu) $$

증명

카이제곱분포를 통한 우회

$X \sim t(\nu)$ 는 표준정규분포를 따르는 $Z \sim N(0,1)$ 와 자유도 $\nu$ 인 카이제곱분포를 따르는 $W$ 에 대해 $$ X^{2} = \left( {{ Z } \over { \sqrt{W / \nu} }} \right)^{2} = {{ Z^{2} / 1 } \over { W / \nu }} \qquad , Z \perp W $$ 이고, $Z^{2}$ 은 자유도 $1$ 인 카이제곱분포를 따른다. 독립인 두 카이제곱 분포에서 F-분포가 유도되므로, $X^{2} \sim F(1, \nu)$ 다.

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확률밀도함수를 통한 직접연역 ²

전략: 확률밀도함수로 직접연역한다.

t-분포의 정의: 자유도 $\nu > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속 확률 분포 $t \left( \nu \right)$ 를 t-분포라고 한다. $$ f(x) = {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \sqrt{\nu \pi} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} \qquad ,x \in \mathbb{R} $$

F-분포의 정의: 자유도 $r_{1}, r_{2} > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속 확률 분포 $F \left( r_{1} , r_{2} \right)$ 를 F-분포라고 한다. $$ f(x) = {{ 1 } \over { B \left( r_{1}/2 , r_{2} / 2 \right) }} \left( {{ r_{1} } \over { r_{2} }} \right)^{r_{1} / 2} x^{r_{1} / 2 - 1} \left( 1 + {{ r_{1} } \over { r_{2} }} x \right)^{-(r_{1} + r_{2}) / 2} \qquad , x \in (0, \infty) $$

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$$ \begin{align*} & Y = X^{2} \\ \implies & \sqrt{Y} = X \end{align*} $$ 이고 $\lambda (X) := X^{2}$ 가 단사 함수가 아니므로 $X$ 의 서포트는 $x \ge 0$ 과 $x < 0$ 둘로 나뉜다. 그 자코비안은 $dy = 2 x dx$ 이므로 $Y$ 의 확률밀도함수 $f_{Y}$ 는 $$ \begin{align*} f_{Y}(y) =& \sum_{k=1}^{2} {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \sqrt{\nu \pi} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} \cdot \left| {{ 1 } \over { 2x }} \right| \\ =& {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \sqrt{\nu \pi} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} \cdot {{ 1 } \over { x }} \end{align*} $$ 으로부터 계산될 것이다.

베타함수와 감마함수의 관계: $$ B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} $$

오일러의 반사 공식에 따라 $\sqrt{\pi} = \Gamma (1/2)$ 이고, 위 보조정리에 따라 $$ \begin{align*} f_{Y}(y) =& {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma (1/2) \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} {{ 1 } \over { \sqrt{\nu} }} \left( 1 + {{ x^{2} } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} x^{-1} \\ =& {{ \Gamma \left( {{ \nu + 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma (1/2) \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} {{ 1 } \over { \sqrt{\nu} }} \sqrt{y}^{-1} \left( 1 + {{ y } \over { \nu }} \right)^{- {{ \nu + 1 } \over { 2 }}} \\ =& {{ 1 } \over { B (1/2, \nu/2) }} \left( {{ 1 } \over { \nu }} \right)^{1/2} y^{1/2-1} \left( 1 + {{ 1 } \over { \nu }} y \right)^{- {{ 1 + \nu } \over { 2 }}} \end{align*} $$

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