📂복소해석

대수학의 기본정리 증명

정리 ¹

$n$차 다항함수 $P(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^2 + \cdots + a_{n} x^{n}$ 은 중근을 포함해서 정확히 $n$개의 근을 갖는다.

설명

사실 우리는 다항식을 풀 때 당연히 해가 존재하는마냥 풀고있지만 그게 꼭 그렇다는 보장은 없을 수 있다. 예로써 2차 다항식 $x^2+1 = 0$은 실근이 존재하지 않는다. 하지만 여기서 복소수를 허용하면 $\pm i$ 라는 두 해가 존재함을 알 수 있다.

팩트로 말하자면 다항식을 풀때 허근을 허용하면 그 어쨌든 해는 반드시 있고, 그것도 정확히 차수만큼 존재한다. 모든 기본정리가 그러하듯 중요성에 대해선 두말하면 잔소리다. 핵심 아이디어는 리우빌의 정리고, 자연수 $n$ 에 대해 일반화 하기 위해 수학적 귀납법이 사용된다.

증명

우선 $P(z) = 0$ 을 만족하는 해가 존재하지 않는다고 가정하면 $\displaystyle {{1} \over {P(z)}}$ 은 전해석함수고 $\displaystyle \lim_{|z| \to \infty} \left| {{1} \over {P(z)}} \right| = 0$ 이므로 유계^bounded다.

리우빌의 정리: $f$ 가 전해석함수고 유계면 $f$ 는 상수함수다.

리우빌의 정리에 의해 $P$ 는 상수함수여야하는데 이는 가정에 모순이므로 $P(z) = 0$ 는 적어도 하나의 해를 갖는다.

이제 자연수에 대해 일반화 해보자. $P(z) = 0$ 는 적어도 하나의 해를 가진다고 했는데, 그 해를 $z = \alpha$ 이라고 하면 $$P(z) = (z-\alpha) Q(z)$$ 여기서 $Q(z) = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^2 + \cdots + b_{n-1} x^{n-1} = 0$ 역시 적어도 하나의 해를 가진다. 이 과정을 반복하면 수학적 귀납법에 의해 $n$차 다항식 $P(z) = 0$ 은 정확하게 $n$개의 해를 갖는다.

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같이보기

• 추상대수의 용어로 표현된 대수학의 기본정리