e^-x^2꼴의 정적분, 가우스 적분, 오일러-푸아송 적분
📂보조정리 e^-x^2꼴의 정적분, 가우스 적분, 오일러-푸아송 적분 정리 가우스 함수 f ( x ) : = e − x 2 f(x) := e^{-x^2} f ( x ) := e − x 2 정적분 은 다음과 같다.
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx= \sqrt{\pi}
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π
설명 물리학자 켈빈은 ‘이 적분이 당연해 보이는 사람을 수학자라고 한다’는 말을 남겼다고 한다. 다른 이름으로는 가우스 적분 Gaussian integral , 혹은 오일러-푸아송 적분 euler-Poisson integral 등이 있다.
고등학생에겐 충격적인 적분이자 특히 통계학에선 어마어마하게 중요한 적분이기도 하다. 그도 그럴 것이 고등학교 과정 내에서는 원시함수를 구할 수 없어 계산이 되지 않는데 그런 한편 통계 파트에선 정규분포 의 확률을 암암리에 사용하기 때문이다.
증명 Strategy: x x x y y y 파푸스-굴딘 정리 를 통해 회전체의 부피를 구하는 식으로 증명하는 방법이 있다고 하지만, 본질적으로 이 증명과 같은데다가 그런 방법 역시 이상적분을 포함하고 있으므로 고등학생 수준이라고 하긴 어렵다.
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x \displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x I = ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y \displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy I = ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y x x x y y y
I 2 = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y
\begin{align*}
I^2 =& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy
\\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-( x^2 + y^2 ) } dxdy
\end{align*}
I 2 = = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y
극좌표계로 바꾸면
I 2 = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π [ − e − r 2 2 ] 0 ∞ d θ = ∫ 0 2 π 1 2 d θ = π
\begin{align*}
I^2 =& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2 } r dr d\theta
\\ =& \int_{0}^{2 \pi} \left[ {{-e^{-r^2}} \over {2}}\right]_{0}^{\infty} d\theta
\\ =& \int_{0}^{2 \pi} {{1} \over {2}} d\theta
\\ =& \pi
\end{align*}
I 2 = = = = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ ∫ 0 2 π [ 2 − e − r 2 ] 0 ∞ d θ ∫ 0 2 π 2 1 d θ π
따라서
I = π
I =\sqrt{\pi}
I = π
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따름정리 반직선 정적분 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2
\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx= {{\sqrt{\pi}} \over {2}}
∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 2 π
한편 적분범위가 0 0 0 ∞ \infty ∞ x = 0 x=0 x = 0 우함수 이므로 굳이 계산을 해보지 않아도 절반이 된다는 것을 짐작할 수 있지만, 범위가 무한히 긴 이상적분이니만큼 정확하게 확인해보도록 하자.
증명 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x
\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx
∫ 0 ∞ e − x 2 d x
여기서 x : = − y x :=-y x := − y
x → 0 , y → 0 x → ∞ , y → − ∞ x 2 = y 2
x \rightarrow 0,\ y \rightarrow 0
\\
x \rightarrow \infty,\ y \rightarrow -\infty
\\
x^2=y^2
x → 0 , y → 0 x → ∞ , y → − ∞ x 2 = y 2
d x = − d y dx=-dy d x = − d y
∫ 0 ∞ e − x 2 d x = − ∫ 0 − ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ 0 e − y 2 d y
\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = -\int_{0}^{-\infty} e^{-y^2} dy=\int_{-\infty}^{0} e^{-y^2} dy
∫ 0 ∞ e − x 2 d x = − ∫ 0 − ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ 0 e − y 2 d y
적분변수는 정적분에서 영향을 주지 않으므로 ∫ − ∞ 0 e − y 2 d y = ∫ − ∞ 0 e − x 2 d x \displaystyle \int_{-\infty}^{0} e^{-y^2} dy=\int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx ∫ − ∞ 0 e − y 2 d y = ∫ − ∞ 0 e − x 2 d x
∫ 0 ∞ e − x 2 d x + ∫ − ∞ 0 e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x
\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx + \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx= 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx
∫ 0 ∞ e − x 2 d x + ∫ − ∞ 0 e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x
위의 결과를 사용하면
∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 1 2 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 1 2 π
\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}
∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 2 1 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 1 π
일반화 다음과 같이 일반화된 공식이 많이 쓰인다.
∫ − ∞ ∞ e − α x 2 d x = π α
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx= \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}
∫ − ∞ ∞ e − α x 2 d x = α π
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