📂동역학

커플드 다이내믹 시스템

정의 ¹

1. 상태공간 $X$ 가 주어져 있다고 하자. $N$ 개의 노드를 가지는 네트워크 $\Gamma$ 의 인접 행렬을 $A$, 노드 $i \in V \left( \Gamma \right)$ 의 상태를 $x_{i} \in X$ 와 같이 나타낼 때, 다음의 미분방정식으로 표현되는 동역학계를 커플드 다이내믹 시스템^{coupled Dynamical system}이라 한다. $$\dot{x_{i}} = f_{i} \left( x_{i} \right) + \sum_{i=1}^{N} A_{ji} c_{ji} \left( x_{j} , x_{i} \right) \qquad i = 1, \cdots, N$$
2. $f_{i}$ 를 각 노드 $i$ 의 에볼루션^evolution이라 한다.
3. $c_{ji}$ 를 노드 $j$ 에서 노드 $i$ 로의 커플링^coupling이라 한다.

설명

보통 많이 사용하는 유클리드 공간 $X = \mathbb{R}^{p}$ 을 생각해봤을 때, 노드의 상태 $x_{i}$ 는 어떤 입자의 위치 등을 나타내는 벡터가 된다. 이들은 기본적으로 각자 $f_{i}$ 로 만들어지는 벡터필드를 따라 움직이는데, 커플링 텀^{coupling Term} $\displaystyle \sum_{i=1}^{N} A_{ji} c_{ji} \left( x_{j} , x_{i} \right)$ 에 의해 노드가 다른 노드와 상호작용하는 것을 표현할 수 있다.

두 노드 $i$, $j$ 는 $A_{ji} = 1$ 이면 커플링 $c_{ji}$ 에 의해 상호작용하고, $A_{ji} = 0$ 이면 상호작용하지 않는다. 이러한 컨셉에서 이들을 네트워크 다이내믹스^{network dynamics}라고 부르는 것은 타당해 보인다. 특히 $\Gamma = K_{N}$, 즉 네트워크가 컴플리트 그래프면 그 자체로 파티클 스웜^{particle Swarm}이라 부를 수 있다.