dXt=f(t,Xt)dt+g(Xt)dWt
디퓨전 g 가 Xt 에만 종속이고 시간 t 에 독립인 확률미분방정식이 위와 같이 주어져 있다고 하자. 다음과 같은 변환 F:Xt↦Yt 를 람페르티 변환Lamperti transformation 이라고 한다.
Yt:=F(Xt)=∫g(u)1duu=Xt
이렇게 얻어진 {Yt} 는 다음과 같이 유닛 디퓨전을 가진 변환된 SDE의 솔루션이다.
dYt=[g(Xt)f(t,Xt)−21∂x∂g(Xt)]dt+dWt
증명
그냥 이토 공식으로 확인해보면 된다.
이토 공식: 이토 프로세스{Xt}t≥0 가 주어져 있다고 하자.
dXt=udt+vdWt
함수 V(t,Xt)=V∈C2([0,∞)×R) 에 대해 Yt:=V(t,Xt) 라 두면 {Yt} 역시 이토 프로세스고, 다음이 성립한다.
dYt==Vtdt+VxdXt+21Vxx(dXt)2(Vt+Vxu+21Vxxv2)dt+VxvdWt
설명
람페르티 변환은 원래의 이토 프로세스에서 복잡한 비선형항을 드리프트drift 텀으로 몰아주고 디퓨전diffusion 텀을 1 로 고정해준다.
예시
dXt=μXtdt+σXtdt
위와 같은 지오메트릭 브라운 모션을 생각해보자. f(x)=μx 이고 g(x)=σx 이므로 그 람페르티 변환은
dYt===g(Xt)f(t,Xt)−21∂x∂g(Xt)dt+dWtσXtμXt−21σdt+dWt(σμ−21σ)dt+dWt
이고, 그 솔루션 Yt 는 다음과 같다.
Yt====∫g(u)1duu=Xt∫σu1duu=Xtσ1loguu=XtσlogXt
Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p199, 231~232. ↩︎