📂확률미분방정식

람페르티 변환

정의 ¹

$$ d X_{t} = f \left( t , X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t} $$ 디퓨전 $g$ 가 $X_{t}$ 에만 종속이고 시간 $t$ 에 독립인 확률미분방정식이 위와 같이 주어져 있다고 하자. 다음과 같은 변환 $F : X_{t} \mapsto Y_{t}$ 를 람페르티 변환^{Lamperti transformation} 이라고 한다. $$ Y_{t} := F \left( X_{t} \right) = \left. \int {{ 1 } \over { g (u) }} du \right|_{u = X_{t}} $$ 이렇게 얻어진 $\left\{ Y_{t} \right\}$ 는 다음과 같이 유닛 디퓨전을 가진 변환된 SDE의 솔루션이다. $$ d Y_{t} = \left[ {{ f \left( t, X_{t} \right) } \over { g \left( X_{t} \right) }} - {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial g \left( X_{t} \right) } \over { \partial x }} \right] dt + d W_{t} $$

증명

그냥 이토 공식으로 확인해보면 된다.

이토 공식: 이토 프로세스 $\left\{ X_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 가 주어져 있다고 하자. $$ d X_{t} = u dt + v d W_{t} $$ 함수 $V \left( t, X_{t} \right) = V \in C^{2} \left( [0,\infty) \times \mathbb{R} \right)$ 에 대해 $Y_{t} := V \left( t, X_{t} \right)$ 라 두면 $\left\{ Y_{t} \right\}$ 역시 이토 프로세스고, 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} d Y_{t} =& V_{t} dt + V_{x} d X_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} \left( d X_{t} \right)^{2} \\ =& \left( V_{t} + V_{x} u + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} v^{2} \right) dt + V_{x} v d W_{t} \end{align*} $$

설명

람페르티 변환은 원래의 이토 프로세스에서 복잡한 비선형항을 드리프트^drift 텀으로 몰아주고 디퓨전^diffusion 텀을 $1$ 로 고정해준다.

예시

$$ d X_{t} = \mu X_{t} dt + \sigma X_{t} dt $$ 위와 같은 지오메트릭 브라운 모션을 생각해보자. $f(x) = \mu x$ 이고 $g(x) = \sigma x$ 이므로 그 람페르티 변환은 $$ \begin{align*} d Y_{t} =& {{ f \left( t, X_{t} \right) } \over { g \left( X_{t} \right) }} - {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial g\left( X_{t} \right) } \over { \partial x }} dt + d W_{t} \\ =& {{ \mu X_{t} } \over { \sigma X_{t} }} - {{ 1 } \over { 2 }} \sigma dt + d W_{t} \\ =& \left( {{ \mu } \over { \sigma }} - {{ 1 } \over { 2 }} \sigma \right) dt + d W_{t} \end{align*} $$ 이고, 그 솔루션 $Y_{t}$ 는 다음과 같다. $$ \begin{align*} Y_{t} =& \left. \int {{ 1 } \over { g (u) }} du \right|_{u = X_{t}} \\ =& \left. \int {{ 1 } \over { \sigma u }} du \right|_{u = X_{t}} \\ =& \left. {{ 1 } \over { \sigma }} \log u \right|_{u = X_{t}} \\ =& {{ \log X_{t} } \over { \sigma }} \end{align*} $$