코시 적분 공식 유도
정리 1
복소함수 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 단순연결영역 $\mathscr{R}$ 에서 해석적이라고 하자.
$\mathscr{R}$ 에 포함된 단순폐경로 $\mathscr{C} \subset \mathscr{R}$ 가 어떤 점 $\alpha$ 를 둘러싸고 있다면 다음이 성립한다. $$ f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz $$
유도
우선 $\displaystyle 2 \pi i = \int_{\mathscr{C} '} {{1} \over { z - \alpha }} dz$ 임을 보이자.
복소경로적분의 수축 보조정리: $\mathscr{C}$ 내부에서 $\alpha$ 를 중심으로 하는 원 $\mathscr{C} '$ 에 대해 $$\int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz$$
$\displaystyle \int_{\mathscr{C}} {{1} \over { z - \alpha }} dz$ 의 적분구간을 원 $\mathscr{C} ': | z - \alpha | = \rho$ 으로 수축하면 $z(\theta) = \rho e^{i \theta} + \alpha, -\pi \le \theta \le \pi$ 이므로 $$ \int_{\mathscr{C} '} {{1} \over { z - \alpha }} dz = \int_{-\pi}^{\pi} {{ i \rho e^{i \theta}} \over { \rho e^{i \theta} }} d\theta = 2 \pi i $$ 이제 $\displaystyle I = \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz$ 라 놓고 $I$ 를 구해보면 $$ \begin{align*} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz =& \int_{\mathscr{C} '} {{f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz + \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \\ =& f(\alpha) \int_{\mathscr{C} '} {{1} \over { z - \alpha }} dz + \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \\ =& f(\alpha) 2 \pi i + \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \end{align*} $$ $\displaystyle \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz = 0$ 임을 보이면 증명은 끝난다.
$f(z)$ 는 $z = \alpha$ 에서 미분가능하므로 어떤 $M>0$ 에 대해서 $$ \left| {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} \right| \le M $$ $\mathscr{C} ' : | z - \alpha | = \rho$ 이므로 $\mathscr{C} '$ 의 길이는 $2 \pi \rho$ 다.
ML 보조정리: $|f(z)| \le M$ 을 만족하는 양수 $M$과 $\mathscr{C}$ 의 길이 $L$ 에 대해 $$ \left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML $$
ML 보조정리에 따라 $$ \left| \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \right| \le 2 \pi \rho M $$ 여기서 $z = \alpha$ 를 중심으로 복소경로적분의 수축 보조정리를 계속해서 사용한다고 생각해보자. 즉 $$\mathscr{C}_n : | z - \alpha | = \rho_n \\ \mathscr{C}_{n+1} : | z - \alpha | = \rho_{n+1} \\ \rho_{n} > \rho_{n+1} $$ 이라면, $n \to \infty$ 일때 $\rho_{n} \to 0$ 이다. 모든 $\rho_{n} >0$ 에 대해 $$ \left| \int_{\mathscr{C}_{n}} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \right| \le 2 \pi \rho_{n} M $$ 이 성립하므로 $$ \left| \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \right| = 0 $$ 마침내 다음을 얻는다. $$ \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz = f(\alpha) 2 \pi i $$
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설명
장님이 눈을 뜨고 앉은뱅이가 벌떡 일어설 공식이다. 수학적인 아름다움은 말할 것도 없고 너무나 유용하기 때문에 그 충격을 이루 헤아리기가 어려울 정도다. 특히 적분에 관해서는 풍부한 수학적 결과들이 끊임 없이 쏟아지기 때문에 복소해석의 꽃이라고 불리기도 한다.
따름정리
한편 코시 적분 공식은 $n$차 미분계수에 대해서 일반화가 가능하다. 증명은 일반화를 위해 수학적 귀납법을 이용한다는 점을 빼면 코시 적분 공식의 증명과 본질적으로 다르지 않다. 이 공식은 그 자체만으로도 아주 유용하지만, 그보다도 더 중요한 의미를 내포하고 있다.
미분에 대해 일반화한 코시 적분 공식
함수 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 단순연결영역 $\mathscr{R}$ 에서 해석적이라고 하자.
$\mathscr{R}$ 에 포함된 단순폐경로 $\mathscr{C} \subset \mathscr{R}$ 가 어떤 점 $\alpha$ 를 둘러싸고 있다면, 자연수 $n$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ f^{(n)} (\alpha) = {{n!} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - \alpha)^{n+1} }} dz $$
그런데 조건을 읽어보면 $f$ 가 여러번 미분가능해야한다는 말은 없는데 $n$차 미분계수를 사용하고있다. 즉 복소해석에서 한번 미분가능한 함수는 무한번 미분가능하다는 의미가 된다. 이는 증명과정에서 보장되고 아주아주 강력한 장점으로, 실함수에서는 쉽게 장담할 수 없는 성질이다. 이렇듯 복소해석은 미분이든 적분이든 온갖 제한을 허물어주기 때문에 놀라운 수학적 결과들이 손쉽게 연역될 수밖에 없다.
무한한 미분가능성 2
해석적이다 복소함수의 도함수는 해석적이다. 다시 말해, $f$ 가 $z \in \mathbb{C}$ 에서 해석적이라면, 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $n$계 도함수 $f^{(n)}$ 역시 $z$ 에서 해석적이다.