📂복소해석

모레라의 정리 증명

정리 ¹

복소함수 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 단순연결영역 $\mathscr{R}$ 에서 연속이고 $\mathscr{R}$ 에 포함된 모든 폐경로 $\mathscr{C} \subset \mathscr{R}$ 에 대해 $\displaystyle \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0$ 을 만족하면 $f$ 는 $\mathscr{R}$ 에서 해석적이다.

설명

코시 정리의 역 정도로 생각할 수 있겠다. 재미있는 점은 원래 ‘미분가능하면 연속, 연속이면 적분가능’이 원래 해석학의 상식이라는 사실이다. 그런데 모레라의 정리는 오히려 적분을 통해 함수의 미분가능성을 판별하고 있으니 참으로 놀라운 정리가 아닐 수 없다.

증명 ²

$$ F(z) := \int_{z_{0}}^{z} f(w) dw $$ 픽스된 $z_{0} \in \mathscr{R}$ 부터 임의의 $z \in \mathscr{R}$ 까지 $f$ 의 복소경로적분을 위와 같이 $z \in \mathscr{R}$ 에 대한 함수 $F : \mathscr{R} \to \mathbb{C}$ 로써 정의하려고 한다. 우선 이것이 진정한 잘 정의되는지^well-defined부터 살펴보자. 전제 조건으로 모든 폐경로 $\mathscr{C}$ 에서 $\displaystyle \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0$ 라 가정했었다. 이에 따라 어떤 경로 $w_{0} : z \to z_{0}$ 를 픽스하든 $$ \int_{z_{0}}^{z} f(w) dw + \int_{w_{0}} f(u) du = 0 $$ 이고, $F(z)$ 가 $z_{0}$ 부터 $z$ 까지 어떤 경로로 적분하든 항상 같은 값을 가짐을 알 수 있다. 이에 따라 $F$ 는 오직 $z$ 의 선택에 따라 값이 하나로 결정되는 함수임을 확인했다.

복소경로적분의 기초 성질에 따라 ${{F(z+h) - F(z)}\over{h}} = {{1} \over {h}} \int_{z}^{z+h} f(w) dw$ 이므로 $$ \begin{align*} & \left| {{F(z+h) - F(z)}\over{h}} - f(z) \right| \\ =& \left| {{1} \over {h}} \int_{z}^{z+h} f(w) dw - {{ 1 } \over { h }} h f(z) \right| \\ =& \left| {{1} \over {h}} \int_{z}^{z+h} f(w) dw - {{ 1 } \over { h }} \int_{z}^{z+h} f(z) dw \right| \\ =& \left| {{1} \over {h}} \int_{z}^{z+h} (f(w) - f(z)) dw \right| \end{align*} $$ 이다. 여기서 $f$ 가 연속이라고 했으므로 주어진 $\varepsilon >0$ 에 대해 $$ |h|< \delta \implies |f(z+h) - f(z)| < \varepsilon $$ 을 만족시키는 $\delta$ 가 존재한다.

ML 보조정리: $|f(z)| \le M$ 을 만족하는 양수 $M$과 $\mathscr{C}$ 의 길이 $L$ 에 대해 $$ \left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML $$

ML 보조정리에 의해 $$ \left| {{F(z+h) - F(z)}\over{h}} - f(z) \right| = \left| {{1} \over {|h|}} \int_{z}^{z+h} (f(w) - f(z)) dw \right| < {{1} \over {|h|}} \varepsilon |h| = \varepsilon $$ 따라서 $$ f(z) = \lim_{h \to 0} {{F(z+h) - F(z)} \over {h}} = F ' (z) $$ 이다. 즉, $f$ 는 어떤 함수 $F$ 의 도함수다. 복소해석에서 한번 미분가능하면 무한번 미분가능하므로, $F$ 가 미분가능하면 $f$ 또한 미분가능하다.

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