📂확률미분방정식

칵스-잉거솔-로스 모델, CIR Model

모델 ¹

$$ d X_{t} = \left( \alpha - \beta X_{t} \right) dt + \sigma \sqrt{X_{t}} d W_{t} \qquad , X_{0} > 0 $$ $\alpha, \beta, \sigma > 0$ 가 $2 \alpha > \sigma^{2}$ 을 만족시킨다고 하자. 위 확률미분방정식을 CIR 모델이라고 한다. $$ X_{t} = {{ \alpha } \over { \beta }} + e^{-\beta t} \left( X_{0} - {{ \alpha } \over { \beta }} \right) + \sigma e^{-\beta t} \int_{0}^{t} e^{\beta u} \sqrt{X_{u}} d W_{u} $$

변수

• $X_{t}$: 이자율^{interesting rate} 혹은 유전자 빈도^{gene frequency}를 나타낸다.

파라미터

• $\alpha / \beta$: 복귀 평균으로, $X_{t}$ 는 장기적으로 보았을 때 이 값으로 돌아가려고 한다.
• $\alpha > 0$: 조정 속도^{speed of adjustment}으로, 값이 클수록 빠른 속도로 평균으로 복귀한다.
• $\sigma > 0$: 변동성^volatility을 나타낸다.

설명

CIR 모델은 인구 성장을 설명하는 방정식으로써 1951년 펠러^feller에 의해 처음 소개되었고, 1985년 칵스^Cox, 잉거솔^Ingersol, 로스^Ross에 의해 짧은 기간동안 이자율의 움직임을 설명하는 모델로 널리 알려지게 되었다. 담백하게는 확률 평균 복귀 제곱근 성장 방정식^{stochastic mean-reverting square-root growth equation}이라고도 부를 수 있는데, 지금은 보통 CIR (성장) 모델이라 부른다.

풀이 자체도 온스테인-울렌벡 프로세스의 유도와 비슷하고, 장기적으로 보았을 땐 평균으로 복귀한다는 성질 또한 가지고 있다. 단기간으로는 조정 속도 $\alpha$ 가 이를 좌우하지만, 장기적으로 볼 때는 $\alpha / \beta$ 방향으로 복귀함을 장담할 수 있다. 확산 계수 $\sigma \sqrt{X_{t}}$ 는 지수 그 자체인 $X_{t}$ 가 아닌 $\sqrt{X_{t}}$ 에 비례하는 변동성을 묘사한다. 이 값은 $0$ 에서 싱귤러^singular하기 때문에 초기값이 $X_{0} > 0$ 이라면 모든 $t$ 에서 $X_{t}$ 는 음수가 될 일이 없다.

이러한 특징들은 이자율이 음수가 될 일이 없으며 장기적으로는 평균 근방에서 보이는 변동들을 묘사한다. 물론 실제 경제현상에선 마이너스 금리 등이 있을 수 있지만, 명목적인 수치만을 생각해보면 충분히 합리적인 가정이라 할 수 있겠다.