📂확률미분방정식

이토 곱셈 테이블

빌드업

$s< t < t+u$ 라고 할 때, 다음의 조건들을 만족하는 확률과정 $\left\{ W_{t} \right\}$ 를 위너 프로세스라 한다.

• (i): $W_{0} = 0$
• (ii): $\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \perp W_{s}$
• (iii): $\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \sim N ( 0, u )$
• (iv): $W_{t}$ 의 샘플 패스는 거의 어디서나 연속이다.

위너 프로세스는 다음과 같은 성질들을 가진다.

• [1]: $\displaystyle W_{t} \sim N ( 0 , t )$
• [2]: $\displaystyle E ( W_{t} ) = 0$
• [3]: $\displaystyle \operatorname{Var} ( W_{t} ) = t$
• [4]: $\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = {{1} \over {2}} (|t| + |s| - |t-s|) = \min \left\{ t , s \right\}$

위너 프로세스 $\left\{ W_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 의 아주 짧은 미소 구간 $\left[ t , t + d t \right]$ 를 생각해보자. 해석적으로 엄밀한 가정은 아니지만, $dt > 0$ 는 $\left( dt \right)^{1/2} > 0$ 이면서 모든 $k = 2 , 3, \cdots$ 에 대해 $\left( dt \right)^{k} = 0$ 으로 취급할 수 있을만큼 작다고 하자. 대수적인 용어를 빌리자면, 이러한 가정 하에서 우리는 $\alpha + \beta dt$ 를 이원수로 다루는 것이다.

이제 $dW_{t} := W_{t + dt} - W_{t}$ 이라고 두었을 때 $dt$ 와 $d W_{t}$ 사이의 곱셈들을 생각해보려 한다.

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Part 1. $\left( dt \right)^{2} = 0$

물론 $dt > 0$ 이지만, $dt$ 가 너무 작아서 $\left( dt \right)^{2} = 0$ 라 하자.

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Part 2. $dt d W_{t} = 0$

$W_{t}$ 는 위너 프로세스로 가정했으므로 정규분포를 따라서 $d W_{t} \sim N \left( 0, \sqrt{dt}^{2} \right)$ 다.

평균과 분산의 성질들:

• [2]: $E(aX + b) = a E(X) + b$
• [5]: $\operatorname{Var} (aX + b) = a^2 \operatorname{Var} (X)$

$dt d W_{t}$ 의 기대값은 상수 $dt$ 가 밖으로 나오며 $$ E \left( dt d W_{t} \right) = dt E \left( d W_{t} \right) = dt \cdot 0 = 0 $$ $dt d W_{t}$ 의 분산도 $dt$ 가 제곱을 취하며 밖으로 나와서 $$ \operatorname{Var} \left( dt d W_{t} \right) = (dt)^{2} \operatorname{Var} \left( d W_{t} \right) = 0 \cdot \operatorname{Var} \left( d W_{t} \right) = 0 $$ 이에 따르면 $dt d W_{t}$ 는 분산이 $0$ 이므로 상수고, 기대값이 $0$ 이므로 정확히 $$ dt d W_{t} = d W_{t} dt = 0 $$ 이어야한다.

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Part 3. $\left( d W_{t} \right)^{2} = dt$

$\operatorname{Var} \left( d W_{t} \right) = dt$ 에서 $d W_{t} \cdot d W_{t}$ 의 기대값을 구해보면 $$ \begin{align*} dt =& \operatorname{Var} \left( d W_{t} \right) \\ =& E \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) - \left[ E \left( d W_{t} \right) \right]^{2} \\ =& E \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) - 0^{2} \end{align*} $$ 이므로 $E \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) = dt$ 다.

평균이 0인 정규분포를 따르는 확률변수 거듭제곱의 기대값: 확률변수 $X$ 가 정규분포 $N \left( 0 , \sigma^{2} \right)$ 를 따른다고 하면 그 거듭제곱 $X^{n}$ 의 기대값은 다음과 같이 재귀적인 공식으로 나타난다. $$ E \left( X^{n} \right) = (n - 1) \sigma^{2} E \left( X^{n-2} \right) $$ $E \left( X^{n} \right)$ 은 $n$ 이 홀수일 때 $0$ 이고, 짝수일 때 다음과 같다. $$ E \left( X^{2n} \right) = \left( 2n - 1 \right)!! \sigma^{2n} $$ 여기서 느낌표가 두 개 들어간 $k!! = k \cdot \left( k - 2 \right) \cdots$ 은 더블 팩토리얼을 나타낸다.

$d W_{t} \sim N \left( 0, \sqrt{dt}^{2} \right)$ 이라 가정했으므로 $d W_{t}$ 은 평균이 $0$ 인 정규분포를 따르고, $\left( d W_{t} \right)^{2}$ 의 분산은 확률변수 거듭제곱의 기대값 공식 $E \left( X^{2n} \right) = \left( 2n - 1 \right)!! \sigma^{2n}$ 에 따라 $$ \begin{align*} \operatorname{Var} \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) =& E \left( \left[ \left( d W_{t} \right)^{2} \right]^{2} \right) - \left[ E \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) \right]^{2} \\ =& E \left( \left( d W_{t} \right)^{2 \cdot 2} \right) - \left[ dt \right]^{2} \\ =& \left( 2 \cdot 2 - 1 \right) \sqrt{dt}^{2 \cdot 2} - dt^{2} \\ =& 3 dt^{2} - dt^{2} \\ =& 2 dt^{2} \\ =& 0 \end{align*} $$ 이 된다. 이에 따르면 $\left( d W_{t} \right)^{2}$ 는 분산이 $0$ 이므로 그냥 상수고, 기대값이 $dt$ 이므로 정확히 $$ \left( d W_{t} \right)^{2} = dt $$ 이어야한다.

요약 ¹

$\alpha + \beta dt$ 가 이원수라 가정하자. $dt$ 와 $d W_{t}$ 의 곱은 다음과 같다. $$ \begin{align*} \left( dt \right)^{2} =& 0 \\ dt d W_{t} =& 0 \\ d W_{t} dt =& 0 \\ \left( d W_{t} \right)^{2} =& dt \end{align*} $$