📂복소해석

복소경로적분의 수축 보조정리

정리 ¹

단순폐경로 $\mathscr{C}$ 를 포함하는 단순연결영역에서 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 $\mathscr{C}$ 내부의 점 $\alpha$ 를 제외한 모든 점에서 해석적이라고 하자. 그러면 $\mathscr{C}$ 내부에서 $\alpha$ 를 중심으로 하는 폐곡선 $\mathscr{C} '$ 에 대해 $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz $$

설명

말은 긴데 결국 말하자면 폐경로에서 복소적분을 할 땐 어떤 점을 중심으로 그 폐경로를 수축시킬 수 있다는 말이다.

적분구간을 이렇게나 마음대로 바꿀 수 있다니, 실수에서는 상상도 못할 일이다. 주의할 점은 딱히 $\alpha$ 에서 꼭 미분불가능할 필요는 없다는 점이다. 그리고 증명과정을 보면 알겠지만 $\mathscr{C} '$ 도 반드시 원이어야 할 이유는 없다.

증명

$$\displaystyle \int_{\Gamma_{1} } f(z) dz + \int_{\Gamma_{2} } f(z) dz = \int_{\mathscr{C}} f(z) dz - \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz$$

코시-구르사 정리: 단순연결영역 $\mathscr{R}$ 에서 $f$ 가 해석적이면 $\mathscr{R}$ 의 내부의 단순폐경로 ${\Gamma}$ 에 대해 $$ \int_{{\Gamma}} f(z) dz = 0 $$

코시-구르자 정리에 의해 $\displaystyle \int_{\Gamma_{1} } f(z) dz = 0$ 이고 $\displaystyle \int_{\Gamma_{2} } f(z) dz =0$ 이다. 따라서 $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz $$

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일반화

분할에 대해 일반화된 수축 보조정리: 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 를 포함하는 단순연결영역에서 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 $\mathscr{C}$ 내부에서 유한한 점 $\alpha_{1} , \alpha_{2}, \cdots \alpha_{n}$ 을 제외한 모든 점에서 해석적이라고 하자. 그러면 $\mathscr{C}$ 내부에서 $\alpha_{k}$ 를 중심으로 하는 원 $\mathscr{C_k}$ 에 대해 $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) dz$$

경로를 쪼개는 아이디어를 조금 더 적용시켜보자면 자연스럽게 일반화된 정리를 얻을 수 있다.