📂확률미분방정식

m2 공간

정의 ^{1 2}

확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 이 주어져 있다고 하자.

1. $\mathcal{F}$ 의 서브 시그마 필드의 시퀀스 $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ 이 다음을 만족하면 필트레이션^filtration이라 부른다. $$ \forall s < t, \mathcal{F}_{s} \subset \mathcal{F}_{t} $$
2. 확률과정 $g(t,\omega) : [0,\infty) \times \Omega \to \mathbb{R}^{n}$ 가 모든 $t \ge 0$ 에 에서 $\omega \mapsto g (t,\omega)$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-가측이면 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드^{$\mathcal{F}_t$-Adapted}라고 한다.
3. 구간 $I := [a,b]$ 에 대해 다음 세 조건을 만족시키는 함수 $f$ 들의 집합을 $m^{2} = m^{2} [a,b]$ 와 같이 나타낸다. 특히 이 $I$ 를 이토 적분의 네츄럴 도메인^{natural Domain}이라 부른다.
   • (i): $\mathcal{B}$ 가 $[0, \infty)$ 의 보렐 시그마 필드 에 대해 $(t, \omega) \mapsto f(t, \omega)$ 가 $\mathcal{B} \times \mathcal{F}$-가측이다.
   • (ii): $f (t,\omega)$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-어댑티드다.
   • (iii): 힐베르트 공간의 구조다. 즉, $$ \left\| f \right\|_{2}^{2} \left( [a,b] \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f(t,\omega) \right|^{2} dt \right) < \infty $$

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• $\mathcal{F}_{t}$ 가 $\mathcal{F}$ 의 서브 시그마 필드라는 것은 둘 다 $\Omega$ 의 시그마 필드이되, $\mathcal{F}_{t} \subset \mathcal{F}$ 임을 의미한다.
• $f$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-가측 함수라는 것은 모든 보렐 셋 $B \in \mathcal{B}([0,\infty))$ 에 대해 $f^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{t}$ 라는 의미다.

설명

필트레이션이 주어져 있을 때 확률과정 $f$ 가 $\mathcal{F}_{t}$-가측이라는 것은 시점 $t$ 까지의 역사 혹은 정보를 가지고 있다는 것으로 보아도 무방하다. 필트레이션은 점점 더 커지는 서브 시그마 필드의 시퀀스이므로, 시간이 지날수록 정보가 늘어가는 모양과 일맥상통한다.

당연하지만 $m^{2}$ 공간이라는 명명은 조건 (iii)에서 보다시피 $L^{2}$ 공간에서 온 것이다.