📂기하학

단순 곡면, 좌표조각사상

정의1 ¹

두 좌표 $u_{1}$, $u_{2}$ 를 가진 $2$차원 유클리드 공간의 부분집합 $U \subset \mathbb{R}^{2}$가 개집합이라고 하자. $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $C^{k}$ 단사 함수 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$ 가 모든 $p \in U$ 에 대해 다음을 만족하면 단순 곡면^{simple surface}이라 부른다.

$${{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{1} }} (p) \times {{ \partial \mathbf{x} } \over { \partial u_{2} }} (p) \ne \mathbf{0}$$

설명

정의에서 개집합 $U$ 은 $2$차원 상에서 뽑히고, 그것을 평평한 그대로든 휘든 어쨌든 $3$차원 공간으로 겹치는 부분 없이(단사이므로) 매핑한다는 점에서 $2$차원의 평평한 조각들을 $3$차원에서 부드럽게 이어붙이는 것으로 상상해볼 수 있다. 그러한 의미에서 단순 곡면은 좌표조각사상^{coordinate patch}라고도 부른다. 함수로써 표현되는 이 곡면의 정의를 기하적으로 상상할 수 있으면 제일 좋고, 떠오르지 않더라도 그냥 시간 들여서 익숙해지면 되니까 걱정하지 말자.

곡면을 위와 같이 2차원 공간에서 3차원 공간으로의 사상으로 정의하는 이유는, 곡면이라는 것은 국소적으로 바라봤을 때 마치 평면과 같다고 취급하기 위해서이다. 실제로 지구는 구와 가까운 형태이지만, 우리는 지표면을 위에서 2차원 평면과 같이 느끼는 것과 같다. $U$를 세계지도, $\mathbf{x}(U)$를 지구본이라고 비유할 수 있다.

한편 정의에서 수식으로 주어진 조건은 곡선 이론에서 정칙 곡선이 $\displaystyle {{ d \mathbf{x} } \over { d u }} (p) \ne 0$ 과 같은 조건을 만족해야했던 것과 비슷하다. 직관적으로 말해 뾰족하거나 기괴하게 뒤틀린 부분은 당장 배제하겠다는 것이다. $\dfrac{ \partial \mathbf{x} }{ \partial u_{1} } (p) \times \dfrac{\partial \mathbf{x} }{ \partial u_{2} } (p) \ne \mathbf{0}$ 을 만족한다는 것은 어떤 방향으로의 편미분이든 싱귤러하지 않다($0$ 이 아니다)는 의미고, 어떤 센스에선 곡면을 두개의 선형독립인 두 (곡선) 축으로 보고 그 기하를 생각하겠다는 의도를 읽을 수 있다.

만약 단순 곡면이 구체적인 좌표와 그래프로 나타나면 몬지 패치^{Monge patch}라고 부르기도 한다. 예를 들어, 단순 곡면 $f$ 가 $f(x,y) = x^{2} + y^{2}$ 라면 그 그래프는 $$\left\{ \left( x, y , x^{2} + y^{2} \right) : (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \right\}$$ 이고, 몬지 패치라 부를 수 있다.

정의2 ²

두 좌표 $u_{1}$, $u_{2}$ 를 가진 $2$차원 유클리드 공간의 부분집합 $U \subset \mathbb{R}^{2}$가 개집합이라고 하자. 사상 $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$가 일대일이고 정칙이면 $\mathbf{x}$를 좌표조각사상^{coordinate patch}이라 한다.

설명 ³

$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$가 정칙이라는 것은 $\mathbf{x}$의 야코비 행렬의 랭크가 $2$라는 말과 같다. $\mathbf{x}(u,v) = (x_{1}(u,v), x_{2}(u,v), x_{3}(u,v))$라고 하면 $\mathbf{x}$의 야코비 행렬은 다음과 같다.

$$J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x_{1}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{1}}{\partial v} \\[1em] \dfrac{\partial x_{2}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{2}}{\partial v} \\[1em] \dfrac{\partial x_{3}}{\partial u} & \dfrac{\partial x_{3}}{\partial v} \end{bmatrix}$$

이 행렬의 랭크가 $2$라는 말은 열공간의 차원이 $2$라는 말이므로 $\mathbf{x}_{u} = \left( \dfrac{\partial x_{1}}{\partial u}, \dfrac{\partial x_{2}}{\partial u}, \dfrac{\partial x_{3}}{\partial u} \right)$와 $\mathbf{x}_{v} = \left( \dfrac{\partial x_{1}}{\partial v}, \dfrac{\partial x_{2}}{\partial v}, \dfrac{\partial x_{3}}{\partial v} \right)$가 선형 독립이라는 말이다. 따라서 이 둘의 외적은 $\mathbf{0}$이 아니다.

$$\mathbf{x}_{u} \times \mathbf{x}_{v} \ne \mathbf{0}$$

그러므로 위의 두 정의는 동치라는 것을 알 수 있다.