📂기하학

회전수 정리 증명

정리 ¹

평면 단순 폐곡선의 회전수는 $i_{\alpha} = \pm 1$ 이다.

설명

짧지만 아주 직관적이고 중요한 정리다. 증명은 다소 독특하다.

증명

$\alpha (s)$ 가 정리의 조건을 만족하면서 길이 $L$ 인 곡선이라고 하자. $$ 0 \le u < v \le L $$ 곡선에서 호의 길이 재매개변수화에 따라 나타나는 두 점 $u, v$ 을 위와 같이 정의하자. 여기서 이변수 함수 $a (u, v)$ 를 시점이 $\alpha (u)$ 이고 종점이 $\alpha (v)$ 인 벡터와 같은 방향이되 크기가 $1$인 유닛벡터로써 정의하려 한다. 수식으로 다시 적으면 다음과 같다. $$ a(u,v) := {{ \alpha (v) - \alpha (u) } \over { \left\| \alpha (v) - \alpha (u) \right\| }} $$ 만약 $u=v$ 면 분모가 $0$ 이 되므로, $v \to u$ 일 때의 극한인 평면곡선의 탄젠트 $t$ 라 생각한다. 다시 말해, $a(u,u) = t(u)$ 이라 둔다. 특히 $a(0,L)$ 은 특히 한바퀴를 돌고온 것으로 보아 (좌극한과 우극한이 다른 것과 같은 센스로) 다음과 같이 취급한다. $$ a (0,L) = - t(0) = -t(L) $$ 이러한 정의에 따르면 $\alpha$ 는 다음과 같은 영역 $\Delta$ 에서 $C^{2}$ 함수다.

한편 $\Delta$ 에서 정의되는 $C^{2}$ 이변수함수 $\alpha (u,v)$ 를 $a(u,v)$ 와 수평축($x$-축)이 이루는 각의 크기로써 정의하자. 주어진 곡선이었던 $\alpha (s)$ 와 헷갈리지 않게 주의해야하는데, 앞으로 볼 계산에서 표현이 간편해져서 부득이 $\alpha$ 를 중복되게 썼다. 이러한 정의에 따르면 $\alpha (u,u) = \theta (u)$ 임을 기억하도록 하자.

---

Part 1. $\displaystyle 2 \pi i_{\alpha} = \int_{\overline{AC}} d \alpha$

$$ i_{\alpha} = {{ \theta (L) - \theta (0) } \over { 2 \pi }} $$ 회전수는 위를 만족하는 정수 $i_{\alpha}$ 다.

$\alpha (u,u) = \theta (u)$ 이었으므로 $\alpha$ 를 타고 $d \theta$ 로 적분한 $\displaystyle \int_{\alpha} d \theta$ 는 선분 $\overline{AC}$ 를 타고 $d \alpha$ 로 선적분한 $\displaystyle \int_{\overline{AC}} d \alpha$ 과 같다. 이에 따라 다음을 얻는다. $$ \begin{align*} 2 \pi i_{\alpha} =& \theta (L) - \theta (0) \\ =& \int_{0}^{L} {{ d \theta } \over { d s }} ds \\ =& \int_{\alpha} d \theta \\ =& \int_{\overline{AC}} d \alpha \end{align*} $$

---

Part 2. $\displaystyle \int_{\overline{AC}} d \alpha = \int_{\overline{AB}} d \alpha + \int_{\overline{BC}} d \alpha$

그린의 정리: 반시계방향을 가지고 조각마다 스무스한 단순 평면 $C^{2}$ 닫힌 곡선 $\mathcal{C}$ 가 유계 영역 $\mathcal{R}$ 을 감싸고 있다고 하자.

$\mathcal{R}$ 에서 정의된 두 함수 $P,Q$ 가 $\mathcal{R}$ 에서 미분가능하면 $$ \int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{\mathcal{R}} (Q_{x} - P_{y}) dx dy $$

$\alpha$ 는 $C^{2}$ 함수이므로(이계도함수가 연속이므로) $\displaystyle {{ \partial^{2} \alpha } \over { \partial u \partial v }} = {{ \partial^{2} \alpha } \over { \partial v \partial u }}$ 이고, 그린 정리에 따라 $$ \begin{align*} \int_{\Delta} d \alpha =& \int_{\Delta} \left( {{ \partial \alpha } \over { \partial u }} du + {{ \partial \alpha } \over { \partial v }} dv \right) \\ =& \iint_{\blacktriangle} \left( {{ \partial^{2} \alpha } \over { \partial v \partial u }} - {{ \partial^{2} \alpha } \over { \partial u \partial v }} \right) dudv \\ =& \iint_{\blacktriangle} 0 dudv \\ =& 0 \end{align*} $$ 다시 말해 $\displaystyle \int_{\overline{AC} + \overline{CB} + \overline{BA}} d \alpha = 0$ 이므로 다음을 얻는다. $$ \int_{\overline{AC}} d \alpha = \int_{\overline{AB}} d \alpha + \int_{\overline{BC}} d \alpha $$

---

Part 3. $i_{\alpha} = \pm 1$

주어진 곡선이 반시계방향으로 돈다는 것은 $u=0$ 으로 고정된 상태에서 $v$ 가 $0$ 에서 $L$ 로 움직이며 적분한다는 것이다. 따라서 $$ \int_{\overline{AB}} d \alpha = \int_{\overline{BC}} d \alpha = \pi $$

주어진 곡선이 시계방향으로 돈다는 것은 $v=0$ 으로 고정된 상태에서 $u$ 가 $L$ 에서 $0$ 로 움직이며 적분한다는 것이다. 따라서 $$ \int_{\overline{AB}} d \alpha = \int_{\overline{BC}} d \alpha = - \pi $$ Part 2에 따라 반시계방향이면 $\displaystyle \int_{\overline{AC}} d \alpha = + 2 \pi$, 시계방향이면 $\displaystyle \int_{\overline{AC}} d \alpha = - 2 \pi$ 이다. 정리하면 $$ \int_{\overline{AC}} d \alpha = \int_{\overline{AB}} d \alpha + \int_{\overline{BC}} d \alpha = \pm 2 \pi $$ 이고, Part 1에 따라 $i_{\alpha} = \pm 1$ 을 얻는다.

■