📂기하학

폐곡선의 회전수

빌드업

평면 곡선의 탄젠트가 얼마나 도는지를 논하기 이전에, 알맞는 각도 함수같은 것을 먼저 생각해 보려 한다. 평면에서 수평선(x축)과 점 $p$ 에서 탄젠트 $t$ 로 만들어지는 각의 크기를 $\overline{\theta} (p)$ 와 같이 나타내도록 하자. 문제는 그 값이 $0 \le \overline{\theta} \le 2\pi$ 이므로 $0$ 에서 $\overline{\theta}$ 가 연속이 아니라는 것이다.

이를 극복하기 위해 우리가 고려할 각도 $\theta$ 는 위와 같이 사분면들의 연결로 만들어지는 4가지 반평면에서 진행방향으로 연속인 것으로 정의한다. 평면 곡선이 정칙 곡선이라면 갑자기 탄젠트가 인접하지 않은 사분면으로 튈 걱정이 없으므로 $\theta$ 의 연속성이 보장된다. 더 간단하게는, $0 \le \theta \le 2\pi$ 같은 제한을 두지 말고 여러번 돌면 여러번 도는만큼 계속해서 가던 방향대로 각도가 커지면 된다.

정의 ¹

길이가 $L$ 인 단위 스피드 폐곡선 $\alpha$ 에 대해 다음의 정수를 $\alpha$ 의 회전수라 한다. $$ i_{\alpha} = {{ \theta (L) - \theta (0) } \over { 2\pi }} = {{ \theta (L) } \over { 2\pi }} $$