📂기하학

재매개변수화와 프레네-세레의 도구

정의

$\beta : [a,b] \to \mathbb{R}^{3}$ 를 정칙 곡선이라고 하자. 현의 길이 재매개변수화 $t = t(s)$ 는 $s(t) = \int_{a}^{t} \left| \beta^{\prime}(t) \right| dt$ 을 만족하고, 단위 스피드 커브 $\alpha (s) := \beta \left( t (s) \right)$ 의 프레네-세레 도구 $$\left\{ \kappa_{\alpha} \left( s(t) \right), \tau_{\alpha} \left( s(t) \right) , T_{\alpha} \left( s(t) \right) , N_{\alpha} \left( s(t) \right), B_{\alpha} \left( s(t) \right) \right\}$$ 를 $\beta$ 의 프레네-세레 도구라 정의한다.

설명

프레네-세레 도구의 정의를 정칙 곡선에 대해 일반화했다. 이는 수학 전반에서 흔히 쓰는 방법으로써, 단위 스피드 커브가 아니면 단위 스피드가 되게끔 만든 것으로 볼 수 있다. 전단사인 현의 길이 재매개변수화에 따라 $\beta$ 그 자체는 아니지만 그 기하를 빼다박은 $\alpha$ 를 보면 되는 것이다.

노테이션

$${{ df } \over { ds }} = f^{\prime} \quad \text{and} \quad {{ df } \over { dt }} = \dot{f}$$

닷 $\dot{}$ 이나 프라임 $'$ 이나 똑같이 미분은 미분인데, 미분 기하학의 맥락에서는 위와 같이 기호를 구분할 수 있다. 보통 $s$ 는 단위 스피드 곡선의 매개변수고 $t = t(s)$ 는 현의 길이 재매개변수화를 거친 곡선의 매개변수를 나타낸다. 또한 외적 $\times$ 과 내적 $\left< \cdot, \cdot \right>$ 에 대해 스칼라 삼중곱을 나타내기 위해 다음과 같은 삼항 기호를 사용한다. $$\left[ \mathbf{u} , \mathbf{v} , \mathbf{w} \right] := \left< \mathbf{u} \times \mathbf{v} , \mathbf{w} \right>$$

정리 ¹

$\beta (t)$ 가 정칙 곡선이라고 하면

• (a): $\displaystyle T = {{ \dot{\beta} } \over { \left| \dot{\beta} \right| }}$
• (b): $\displaystyle B = {{ \dot{\beta} \times \ddot{\beta} } \over { \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right| }}$
• (c): $N = B \times T$
• (d): $\displaystyle \kappa = {{ \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right| } \over { \left| \dot{\beta} \right|^{3} }}$
• (e): $\displaystyle \tau = {{ \left[ \dot{\beta} , \ddot{\beta}, \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right] } \over { \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right|^{2} }}$

증명

프레네-세레 공식: $\alpha$ 가 $\kappa (s) \ne 0$ 인 단위 스피드 커브라고 하면 $$\begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*}$$

노테이션에서 소개한 바에 따라 다음을 쉽게 유도할 수 있다. $${{ ds } \over { dt }} = \dot{s} = \left| \dot{\beta} \right| = {{ d } \over { dt }} \int_{a}^{t} \left| \beta^{\prime}(t) \right| dt$$ 특히 $\dot{T}$ 는 프레네-세레 공식에 따라 $$\dot{T} = {{ dT } \over { dt }} = {{ dT } \over { ds }} {{ ds } \over { st }} = \kappa N \dot{s}$$

(a)

$$\begin{align*} \dot{\beta} =& \alpha^{\prime} \dot{s} \\ =& T \dot{s} \\ =& T \left| \dot{\beta} \right| \end{align*}$$ $\left| \dot{\beta} \right|$ 를 넘기면 $$T = {{ \dot{\beta} } \over { \left| \dot{\beta} \right| }}$$

(d)

편의 상 $(d)$ 를 먼저 증명한다. $$\dot{\beta} = \dot{s} T$$ 양변을 $t$ 로 미분하면 $$\begin{align*} \ddot{\beta} =& \ddot{s} T + \dot{s} \dot{T} \\ =& \ddot{s} T + \dot{s}^{2} \dot{T}^{\prime} \\ =& \ddot{s} T + \kappa \dot{s}^{2} N \end{align*}$$ 따라서 $$\begin{align*} \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right| =& \left| \dot{s} T \times \left( \ddot{s} T + \kappa \dot{s}^{2} N \right) \right| \\ =& \left| \kappa \dot{s}^{3} B \right| \\ =& \kappa \dot{s}^{3} \end{align*}$$ $\dot{s} = \left| \dot{\beta} \right|$ 이므로 $$\kappa = {{ \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right| } \over { \left| \dot{\beta} \right|^{3} }}$$

(b)

(d)의 증명 과정에서 $\kappa \ne 0$ 면 $$\begin{align*} B =& {{ \dot{\beta} \times \ddot{\beta} } \over { \kappa \dot{s}^{3} }} \\ =& {{ \dot{\beta} \times \ddot{\beta} } \over { \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right| }} \end{align*}$$

(c)

자명하다.

(e)

$\ddot{\beta} = \ddot{s} T + \dot{s} \dot{T}$ 를 한 번 더 $t$ 로 미분하면 $$\begin{align*} \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} =& \overset{\cdot\cdot\cdot}{s} T + \ddot{s} \dot{T}+\left(\kappa \dot{s}^{2}\right)^{\cdot} N+\kappa \dot{s}^{2} \dot{N} \\ =& \overset{\cdot\cdot\cdot}{s} T+\dot{s} \ddot{s} T^{\prime} + \left(\kappa \dot{s}^{2}\right)^{\cdot} N + \kappa \dot{s}^{3} N^{\prime} \\ =& \overset{\cdot\cdot\cdot}{s} T+\kappa \dot{s} \ddot{s} N+\left(\kappa \dot{s}^{2}\right)^{\cdot} N-\kappa^{2} \dot{s}^{3} T+\kappa \tau \dot{s}^{3} \mathbf{B} \\ =& \left(\overset{\cdot\cdot\cdot}{s}-\kappa^{2} \dot{s}^{3}\right) T+\left(\kappa \dot{s} \ddot{s}+\left(\kappa \dot{s}^{2}\right)^{\cdot}\right) N+\kappa \tau \dot{s}^{3} \mathbf{B} \end{align*}$$ 스칼라 삼중곱이 $\left[ \dot{\beta} , \ddot{\beta}, \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right] = \left< \dot{\beta} \times \ddot{\beta} , \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right>$ 이고 $T \perp B$, $N \perp B$ 이므로 $$\begin{align*} \left[ \dot{\beta} , \ddot{\beta}, \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right] =& \left< \dot{\beta} \times \ddot{\beta} , \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right> \\ =& \left< \kappa \dot{s}^{3} B , \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right> \\ =& \tau \left( \kappa \dot{s}^{3} \right)^{2} \\ =& \tau \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right|^{2} \end{align*}$$ 정리하면 $$\tau = {{ \left[ \dot{\beta} , \ddot{\beta}, \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right] } \over { \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right|^{2} }}$$

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